38. Формула Кристоффеля.

Пусть на плоскости имеется многоугольник и положим, что величины углов этого многоугольника суть . Введем в рассмотрение функцию

которая совершает конформное преобразование верхней полуплоскости t в наш многоугольник. Нашей задачей будет построение аналитического выражения этой функции. Положим, что вершинам многоугольника соответствуют точки

лежащие на вещественной оси, причем мы считаем, что все эти точки находятся на конечном расстоянии, чего всегда можно достигнуть при помощи дробно-линейного преобразования плоскости t.

Рис. 38.

Кроме того, пусть крайняя точка слева и крайняя точка справа. Рассмотрим вопрос об аналитическом продолжении функции через вещественную ось. Возьмем некоторый определенный отрезок вещественной оси, которому соответствует сторона многоугольника. В силу принципа симметрии мы можем функцию аналитически продолжить через отрезок и значения этого продолжения в нижней полуплоскости дадут новый многоугольник, который получается из основного при помощи отображения в стороне . Мы можем затем дальше аналитически продолжить вновь полученную функцию из нижней полуплоскости в верхнюю через некоторый отрезок вещественной оси. При этом опять в силу принципа симметрии новые значения в верхней полуплоскости дадут многоугольник, который получается из второго многоугольника при помощи его отображения в той его стороне, которая соответствовала упомянутому отрезку вещественной оси и т. д.

Мы видим, таким образом, что можно беспрепятственно продолжать нашу функцию через вещественную ось, и при этом значения этой функции будут преобразовывать всякую полуплоскость в многоугольник, который получается из основного путем нескольких отображений в тех сторонах, которые соответствуют тем отрезкам вещественной оси, через которые мы совершали аналитическое продолжение. Заметим при этом, что стороне многоугольника соответствует на вещественной оси отрезок, идущий от к и затем от так что бесконечно далекая точка в плоскости t соответствует некоторой точке, лежащей на стороне многоугольника. Сами точки будут, вообще говоря, особыми точками функции . Исследуем характер этих особых точек. Возьмем для определенности точку и обойдем вокруг этой точки, отправляясь из верхней полуплоскости и вновь туда возвращаясь. При этом нам сначала придется пройти из верхней полуплоскости в нижнюю через отрезок и затем вернуться из нижней в верхнюю через отрезок .

Рис. 39.

Согласно вышесказанному, значения в нижней полуплоскости дадут многоугольник который получается из основного отображением в стороне и затем возвращение в верхнюю полуплоскость сведется к отображению в стороне этого нового многоугольника (рис. 39).

Таким образом, вышеуказанному обходу вокруг точки будет соответствовать на плоскости отображение в прямых т. е., как мы видели в [33], линейное преобразование вида , где — координата точки

Отсюда непосредственно следует

где некоторая постоянная и -новая ветвь в верхней полуплоскости.

Отсюда следует

т. е. функция

будет регулярной и однозначной в окрестности точки и эта точка может для функции (42) быть полюсом или существенно особой точкой.

Покажем, что эта точка будет простым полюсом с вычетом . Действительно, введем вместо z новую комплексную переменную

где координата вершины Этой вершине будет соответствовать значение и стороны образующие угол перейдут в две прямые, образующие угол , т. е. на плоскости вышеупомянутые стороны превратятся в два отрезка одной и той же прямой выходящих из начала в разные стороны. Если мы обратимся теперь к плоскости переменной то увидим, что окрестность точки лежащая над вещественной осью, перейдет на плоскости в окрестность точки лежащую по одну сторону от прямой . В силу принципа симметрии то же самое будет иметь место и для окрестностей точек лежащих по другую сторону от упомянутых прямых. Таким образом, окрестность точки перейдет в однолистную окрестность точки и мы должны будем иметь разложение вида

Отсюда непосредственно следует, что

или, если применить формулу бинома Ньютона [ср. 23],

где — регулярна в точке и отлична там от нуля.

Отсюда

и, следовательно,

Второй множитель справа есть регулярная функция в точке и значение его в этой точке равно , т. е. вблизи точки имеет место разложение

где есть функция, регулярная в точке

Аналогично мы убедимся, что функция (42) имеет в каждой точке вещественной оси полное первого порядка с вычетом Никаких других особых точек на конечном расстоянии наша функция, как мы знаем, не имеет, а потому разность

будет регулярной и однозначной функцией на всей плоскости. Выясним теперь поведение функции (43) на бесконечности. Как мы видели выше функция на бесконечности стремится к определенному значению, а именно к координате той точки стороны которая соответствует и, следовательно, в окрестности бесконечна далекой точки имеем разложение вида

Отсюда непосредственно следует, что для функции в окрестности бесконечности имеем разложение вида

т. e. эта функция стремится к нулю при . Таким образом, функция (43), регулярная на всей плоскости, стремится к нулю при а следовательно, ограничена на всей плоскости. Согласно теореме Лиувиля [9], выражение (43) должно быть величиной постоянной, и так как мы только что видели, что оно должно стремиться к нулю при , то отсюда следует, что эта постоянная должна равняться нулю. Это приводит к равенству:

Интегрируя один раз, получаем

ИЛИ

и, наконец, интегрируя еще раз, имеем окончательно

где А и В — постоянные. Таким образом, наша задача решена конформное преобразование верхней полуплоскости t в многоугольник с углами дается формулой (45), где некоторые точки на вещественной оси, а А и В — комплексные постоянные.

Выясним прежде всего роль этих последних постоянных. В предыдущих рассуждениях мы использовали лишь величины углов нашего многоугольника. Таким образом, подвергая многоугольник движению или даже преобразованию подобия, мы не меняем углов, и для нового многоугольника должна иметь место также формула (45). Роль постоянных А и В и сводится к тому, что мы при изменении их переходим от одного многоугольника к подобному многоугольнику. Более существенной является роль чисел в формуле (45). Расположение этих чисел на вещественной оси вместе со значением постоянной А дает длины сторон многоугольника. В дальнейшем мы вернемся еще к этому вопросу.

При выводе формулы (45) предполагалось, что всем вершинам многоугольника соответствуют точки вещественной оси, лежащие на конечном расстоянии. Положим теперь, что одной из вершин, например вершине соответствует бесконечно далекая точка.

Совершая, например, в формуле (45) замену переменной интегрирования и пользуясь соотношением

легко показать, возвращаясь к прежним обозначениям, что в этом случае формула имеет вид

При помощи дробно-линейной функции, преобразующей полуплоскость в круг можно показать, что конформное преобразование упомянутого круга в многоугольник выражается формулой, по виду совпадающей с (45):

где — точки, лежащие на окружности

В указанных выше формулах нижний предел не играет роли и влияет лишь на постоянную В. Аргументы разностей и надо фиксировать хотя бы в одной точке одного из промежутков считая, например, при При этом они определяются на всей полуплоскости (или во всем круге).

Выше мы исходили из некоторого многоугольника на плоскости t и вывели формулы для функции, преобразующей полуплоскость или круг в этот многоугольник. Будем теперь исходить из этих формул. Рассмотрим, например, формулу (45), где — некоторые точки вещественной оси числа, удовлетворяющие условиям и соотношению (46). Можно показать, что при этом формула (45) преобразует верхнюю полуплоскость плоскости t в некоторую область плоскости z без точек разветвления (однолистную или многолистную), контур которой — ломаная линия с углами

Рис. 40.

На рис. 40 изображен семиугольник, который является двулистным в заштрихованной части.

Заключение, совершенно аналогичное только что сформулированному, имеет место и по отношению к формулам (47) и (48).