104. Гипергеометрический ряд.

Построим сначала решения уравнения (62) в окрестности особой точки Эти решения должны иметь вид

где — ряды Маклорена со свободным членом. Найдем сначала первое из написанных решений. Перепишем для этого уравнение (62) в виде

и подставим в его левую часть

Применяя обычный метод неопределенных коэффициентов, получим окончательно решение следующего вида:

где через мы обозначили бесконечный ряд, стоящий справа. Поскольку ближайшая к началу особая точка уравнения есть точка мы можем утверждать, что написанный ряд наверно сходится в круге . Этот ряд называется обычно гипергеометрическим рядом. При он превращается в геометрическую прогрессию. Мы занимались исследованием этого ряда еще раньше [I, 141].

Для определения второго из решений (63) воспользуемся тем элементарным преобразованием функции, о котором мы говорили в предыдущем номере. Введем вместо w новую искомую функцию по формуле

Для новой искомой функции корни 0 и определяющего уравнения в точке перейдут в . Корни 0 и в точке останутся прежними, и, наконец, в силу второй из формул (65) корни в точке перейдут в

Действительно, до преобразования разложения решений вблизи, имели вид

и после преобразования они будут иметь вид

Следовательно, новая искомая функция и будет определяться следующим символом:

Сравнивая этот символ Римана с символом и обозначая через значения параметров , соответствующие новому символу Римана, получим

т. е.

Решение нового уравнения, регулярное в начале будет согласно предыдущему

откуда в силу (65) получаем

Это и будет второе из решений (63).

Перейдем теперь к отысканию решений уравнения (62) в окрестности особой точки Введем для этого новую независимую переменную по формуле

Точка перейдет в точка перейдет в и, наконец, перейдет в Таким образом, и по отношению к новой независимой переменной мы будем иметь также уравнение Гаусса, и функция w определится следующим символом:

откуда для параметров , получим значения

В окрестности мы будем иметь два решения:

или, переходя к прежней независимой переменной, получим следующие два решения в окрестности

Для построения интегралов в окрестности совершим преобразование независимого переменного:

которое сохраняет точку и переставляет точки . В новой переменной функция w определится следующим символом:

Совершая дальше замену функции

мы для функции и получим символ, соответствующий уравнению Гаусса:

Параметры для этого уравнения Гаусса будут

и мы будем иметь для функции и следующие два решения в окрестности

откуда, принимая во внимание , получим два решения уравнения (62) в окрестности

Таким образом, все шесть решений, которые мы определили в окрестности каждой из особых точек, выражаются через гипергеометрический ряд. Заметим, что во всех предыдущих вычислениях мы считали, что разность корней определяющих уравнений отлична от целого числа. Принимая во внимание расположение особых точек, можем утверждать, что формулы имеют место при а формулы (642) — при Заметим, что решение (64) имеет смысл и тогда, когда есть целое положительное число.

В [I, 141] мы исследовали сходимость гипергеометрического ряда при и показали, что он сходится, если выполнено условие

причем считаются вещественными. При этом, согласно второй теореме Абеля [I, 149], мы имеем при и

Докажем формулу

Сравнивая коэффициенты при легко доказать соотношение

ИЛИ

где коэффициент при в разложении Покажем, что при условии при .

Мы имеем [I, 141]

где ограничена по абсолютной величине при . Пусть — такое целое положительное число, что Мы можем написать

где ограничена по абсолютной величине. Из этого равенства и неравенства следует, что ряд, составленный из сходится и, следовательно, при . Устремляя в формуле к единице и пользуясь второй теоремой Абеля, получаем

т. е.

Пользуясь несколько раз этим соотношением, можем написать

Произведение, стоящее в квадратных скобках при имеет предел [73]

Покажем теперь, что при . Обозначая через коэффициент при в разложении можем написать

Заменяя в выражении в числителе в знаменателе сумму разностью причем считается, что получим

причем справа стоит ряд с положительными членами. Вынося за скобку и заменяя в знаменателях на будем иметь

При достаточно больших аргументы удовлетворяют условию (66), и ряд, стоящий в правой части последнего неравенства, сходится, причем его члены, а потому и вся сумма, убывают при возрастании . Первый множитель при и, следовательно, при Окончательно формула (69) и приводит нас к (67).

Пользуясь формулой (67), можно выразить решение через линейно независимые решения Все эти три решения имеют место в части плоскости, общей окружностям с центром и радиусом единица. Мы должны иметь

Считая, что подчиняются неравенствам: , мы можем в этом равенстве положить и таким образом определить . Пользуясь формулой (67), равенством (122) из [71] и легко доказываемой формулой

мы приходим к следующему равенству:

Мы доказали эту формулу при условии . Можно показать, что она имеет место во всех случаях, когда не есть целое число.