111. Функции Ханкеля и интегральное представление решений уравнения Бесселя.

При указанном выше выборе а формулы (143) дают два решения уравнения Бесселя, которые называются функциями Ханкеля и обозначаются так, как это указано в формулах (143). При сложении этих решений получится решение, которое выражается произведением у на интегралы по контуру, имеющему вид восьмерки (рис. 69). Наполним, что рис. 69 получается из рис. 67 при поворотом вокруг начала на угол

Принимая во внимание, что полусумма функций (143) должна давать функцию Бесселя (142), получаем

Рис. 69.

Сокращая обе части на и полагая затем приходим к уравнению для определения а:

и нам остается только вычислить интеграл, стоящий в левой части. Считая вещественным и () больше можем привести путь интегрирования С к интегрированию по двойному отрезку причем надо интегрировать по нижнему берегу отрезка от к (1) и по верхнему от (1) к Как было выше упомянуто, при откуда следует, что на верхнем берегу отрезка и: на нижнем берегу этого отрезка, т. е.

и окончательно, складывая интегралы, получим

где

Принимая во внимание четность подинтегральной функции, можно написать

или, вводя вместо новую переменную интегрирования по формуле

Но мы видели раньше, что

так что интеграл, стоящий в равенстве (145), будет

Но мы имели раньше

откуда

так что окончательно

Мы вывели эту формулу в предположении, что вещественно и Принимая во внимание, что обе части суть аналитические функции от можно утверждать, что эта формула остается верной при всяком . Таким образом, из формулы (145) для постоянной а мы получаем следующее значение:

Внося это значение в формулы (143), находим выражение для функций Ханкеля:

В обоих интегралах мы считаем при . Если во втором интеграле будем считать при , то можно написать

Если то вещественная часть стремится к если только вещественная часть z больше нуля, и, таким образом, формулы (147) определяют функцию Ханкеля справа от мнимой оси.

Напомним, что мы считаем отличным от целого неотрицательного числа.

Выражение для легко преобразовать при предположении, что вещественная часть больше интегралу по промежутку . В рассматриваемом случае интеграл по можно брать по сторонам разреза вплоть до точки Учитывая тот факт, что при обходе точки подинтегральная функция приобретает множитель а затем совершая замену переменной интегрирования получим, используя формулу

Первая из этих формул имеет место при , а вторая — при .