58. Интегрирование рациональной дроби.
Рассмотрим интеграл от рациональной дроби
Для того чтобы такой интеграл имел смысл, необходимо и достаточно [II, 86], чтобы полином 
стоящий в знаменателе, не имел вещественных корней и чтобы его степень по крайней мере на две единицы превышала степень полинома 
. Если мы рассмотрим при этом функцию комплексного переменного
то она, очевидно, будет обладать тем свойством, что произведение 
будет стремиться к нулю при 
и притом равномерно т. е. независимо от способа стремления z к бесконечности. Точнее говоря, эта равномерность будет сводиться к следующему: для любого малого положительного 
существует такое положительное 
что 
если только 
. Покажем, что если функция 
удовлетворяет этому условию, то интеграл от нее по любой дуге окружности 
стремится к нулю при беспредельном возрастании 
Лемма. Если 
непрерывна в окрестности бесконечно далекой точки и 
равномерно при 
, то интеграл от 
по любой дуге окружности 
стремится к нулю при беспредельном возрастании 
Применяя к интегралу обычную оценку из [4], мы будем иметь
где 
— длина упомянутой дуги 
которая, очевидно, не превышает 
так что окончательно
Принимая во внимание, что 
на нашей дуге стремится к нулю при беспредельном возрастании R, мы и получаем непосредственно утверждение нашей леммы.
Вернемся к нашему примеру и проинтегрируем рациональную дробь 
по контуру, состоящему из отрезка 
вещественной оси и полуокружности в верхней полуплоскости, имеющей упомянутый отрезок диаметром. Мы можем взять R настолько большим, чтобы все полюсы функции 
лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри построенного полукруга. Обозначая построенную полуокружность через 
имеем
где через 
мы обозначили сумму вычетов функции 
относительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости. При беспредельном увеличении R правая часть равенства не будет меняться, а второе слагаемое левой части будет, согласно лемме, стремиться к нулю, и мы получим в пределе
т. е. интеграл (10) от рациональной дроби равен произведению 
на сумму вычетов подинтегральной функции относительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости.
Пример. Рассмотрим интеграл
В данном случае в верхней полуплоскости находится единственный полюс подинтегральной функции 
порядка 
. Для определения вычета в этом полюсе мы должны, согласно [21], помножить подинтегральную функцию 
на 
полученное произведение продифференцировать 
раз по z, разделить на 
и положить затем 
т. е. искомый вычет определяется по формуле
или
и окончательно будем иметь
