128. Случай любых Us.

Формула (337) из [125] дает нам представление показательной подстановки интегральной матрицы в виде степенного ряда по сходящегося лишь в том случае, когда близки к нулевой матрице. Точно так же формула (352) из [126] дает аналогичное представление для регулярного множителя канонической матрицы Мы переходим теперь к вопросу о представлении этих матриц при любых

По определению для близких к нулевой матрице, мы имеем [125]

Обозначим через характеристические числа матрицы . Как мы видели [126], матрица подобна матрице и, следовательно характеристические числа матрицы будут

Считая различными и пользуясь формулой Сильвестра, можем написать

В дальнейшем для отчетливости ограничимся случаем Подставляв выражение через р, получим

или

Если то эта формула превращается в следующую:

Выше мы имели представление в виде степенного ряда по для любых Тем самым предыдущая формула (356) дает нам выражение для при любых Эта формула теряет смысл, если , и отличаются на целое число, отличное от нуля, так как при этом знаменатель в правой части (356) обратится в нуль, а числители будут отличны от нуля. Таким образом, для , как функции от особыми будут те матрицы характеристические числа которых отличаются на целое число, отличное от нуля. В отношении остальных матриц функция никаких особенностей не имеет. Наличие указанных особенностей и является причиною того, что ряд (337) сходится лишь в том случае, когда близки к нулевой матрице.

Наметим, каким образом можно, используя ряд (337), получить в виде частного двух степенных рядов, сходящихся для любых Составим численную функцию от т. е. такую функцию, которая при заданном имеет определенное численное значение:

Мы можем представить ее в виде степенного ряда, сходящегося при любых

Обозначая через элементы матрицы мы можем написать то квадратное уравнение, которому удовлетворяют

Далее мы имеем

и, принимая во внимание свойство суммы и произведения корней квадратного уравнения, получим выражение через элементы матрицы

Подставляя это в (359), получим выражение через элементы матрицы

причем этот ряд сходится при любом выборе т. е. есть целая функция элементов матрицы

Обозначим для краткости через слагаемые написанной суммы:

причем при есть однородный полином степени v от элементов Из формул (356) и (358) следует, что элементы произведения суть целые функции элементов и, вообще, целые функции элементов всех матриц Такая целая функция может быть разложена неоднородным полиномам от элементов . Принимая во внимание разложения (337) и (360), можем написать разложение по этим однородным полиномам:

Написанный ряд сходится уже для любых . Таким образом, мы получаем представление в виде частного двух целых функций от элементов

Заметим, что ряд, стоящий в знаменателе, есть ряд с численными членами, зависящими только от элементов матрицы Рассуждая совершенно так же, как и выше, мы можем показать, что произведения

суть целые функции элементов . Из формулы (346) следует, что

Матрицы как мы знаем, суть целые функции матриц и, следовательно, произведение есть целая функция элементов Каноническая матрица имеет представление вида [126]

и, следовательно, есть целая функция элементов То же можно утверждать и о произведении

поскольку есть целая функция Пользуясь разложением (352), мы можем представить и каноническую матрицу в виде частного двух целых функций элементов

Заметим, что во всех предыдущих формулах число коммутирует с любой матрицей. В рядах, стоящих в числителях формул (361) и (362),

члены суть матрицы, зависящие от элементов как через посредство множителей , так и через посредство численного множителя

Формулы (352) и (362) дают нам представление канонической матрицы в виде степенного ряда или частного степенных рядов, расположенных по элементам матриц При этом коэффициенты зависят от . Можно, наоборот, строить в виде ряда Тэйлора по степеням . Коэффициенты этого ряда окажутся зависящими от элементов Этот ряд будет сходящимся в круге не содержащем других особых точек, кроме

Для мы имели уравнение (351), причем, как мы показали,

Подставляя в это уравнение

где матрицы, не зависящие от и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим уравнения для последовательного определения матриц

С подобными системами мы уже встречались в [123]. Мы не останавливаемся на решении уравнений (364) и доказательстве сходимости ряда (363). Здесь применим тот же метод доказательства, которым мы пользовались в [101]. Отметим лишь, что произведение есть целая функция элементов матриц .