Если
то эта формула превращается в следующую:
Выше мы имели представление
в виде степенного ряда по
для любых
Тем самым предыдущая формула (356) дает нам выражение для
при любых
Эта формула теряет смысл, если
, и
отличаются на целое число, отличное от нуля, так как при этом знаменатель в правой части (356) обратится в нуль, а числители будут отличны от нуля. Таким образом, для
, как функции от
особыми будут те матрицы
характеристические числа которых отличаются на целое число, отличное от нуля. В отношении остальных матриц
функция
никаких особенностей не имеет. Наличие указанных особенностей и является причиною того, что ряд (337) сходится лишь в том случае, когда
близки к нулевой матрице.
Наметим, каким образом можно, используя ряд (337), получить
в виде частного двух степенных рядов, сходящихся для любых
Составим численную функцию от
т. е. такую функцию, которая при заданном
имеет определенное численное значение:
Мы можем представить ее в виде степенного ряда, сходящегося при любых
Обозначая через
элементы матрицы
мы можем написать то квадратное уравнение, которому удовлетворяют
Далее мы имеем
и, принимая во внимание свойство суммы и произведения корней квадратного уравнения, получим выражение
через элементы матрицы
Подставляя это в (359), получим выражение
через элементы матрицы
причем этот ряд сходится при любом выборе
т. е. есть целая функция элементов матрицы
Обозначим для краткости через
слагаемые написанной суммы:
причем
при
есть однородный полином степени v от элементов
Из формул (356) и (358) следует, что элементы произведения
суть целые функции элементов
и, вообще, целые функции элементов всех матриц
Такая целая функция может быть разложена неоднородным полиномам от элементов
. Принимая во внимание разложения (337) и (360), можем написать разложение по этим однородным полиномам:
Написанный ряд сходится уже для любых
. Таким образом, мы получаем представление
в виде частного двух целых функций от элементов
Заметим, что ряд, стоящий в знаменателе, есть ряд с численными членами, зависящими только от элементов матрицы
Рассуждая совершенно так же, как и выше, мы можем показать, что произведения
суть целые функции элементов
. Из формулы (346) следует, что
Матрицы
как мы знаем, суть целые функции матриц
и, следовательно, произведение
есть целая функция элементов
Каноническая матрица
имеет представление вида [126]
и, следовательно,
есть целая функция элементов
То же можно утверждать и о произведении
поскольку
есть целая функция
Пользуясь разложением (352), мы можем представить и каноническую матрицу
в виде частного двух целых функций элементов
Заметим, что во всех предыдущих формулах число
коммутирует с любой матрицей. В рядах, стоящих в числителях формул (361) и (362),
члены суть матрицы, зависящие от элементов
как через посредство множителей
, так и через посредство численного множителя
Формулы (352) и (362) дают нам представление канонической матрицы в виде степенного ряда или частного степенных рядов, расположенных по элементам матриц
При этом коэффициенты
зависят от
. Можно, наоборот, строить
в виде ряда Тэйлора по степеням
. Коэффициенты этого ряда окажутся зависящими от элементов
Этот ряд будет сходящимся в круге
не содержащем других особых точек, кроме
Для
мы имели уравнение (351), причем, как мы показали,
Подставляя в это уравнение
где
матрицы, не зависящие от
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
получим уравнения для последовательного определения матриц
С подобными системами мы уже встречались в [123]. Мы не останавливаемся на решении уравнений (364) и доказательстве сходимости ряда (363). Здесь применим тот же метод доказательства, которым мы пользовались в [101]. Отметим лишь, что произведение
есть целая функция элементов матриц
.