4. Интеграл.

Пусть некоторая направленная линия на плоскости z. В дальнейшем, если не оговорено особо, всегда будем предполагать, что линии гладкие или кусочно гладкие. Это значит, что имеет параметрическое представление непрерывные функции с непрерывными производными, причем

(это гарантирует в каждой точке определенную касательную), или что состоит из конечного числа кусков, каждый из которых вплоть до своих концов обладает вышеуказанным свойством. Любая дуга такой линии имеет определенную длину [I, 103], или, как говорят, спрямляема.

Если за параметр t принять длину дуги линии отсчитываемую от фиксированной точки в направлении, указанном на то производные суть направляющие косинусы касательной к и имеет место равенство

Для линий указанного типа вычисление криволинейного интеграла

непосредственно сводится к вычислению обычного определенного интеграла. Достаточно лишь в подинтегральном выражении заменить х, у на и положить Дело сведется к интегрированию по t в пределах, соответствующих линии

Рис. 3.

Положим, что на I задана некоторая непрерывная функция Определим понятие контурного интеграла по контуру Разобьем на части промежуточными точками и пусть комплексные координаты координаты концов А и В. Пусть, далее, С — некоторая точка на дуге на дуге и на дуге Составим сумму произведений

Предел этой суммы при беспредельном возрастании и беспредельном уменьшении каждой из частных дуг называется контурным интегралом от функции по

Напомним, что написанное равенство равносильно следующему: при любом заданном существует такое что

если наибольшая из длин частичных дуг

Обозначим Отделяя вещественную и мнимую части можем написать

или

При сделанных предположениях о линии и при непрерывности обе суммы, стоящие в правой части, стремятся к пределам, равным соответствующим криволинейным интегралам по и мы получаем выражение для интеграла (15) в виде суммы обычных криволинейных вещественных интегралов:

Выше мы для определенности считали, что линия I имеет концы, очевидно, что данное определение годится и при интегрировании по замкнутым контурам.

Контурный интеграл (15) обладает совершенно такими же свойствами, как и обычный криволинейный вещественный интеграл [II, 69]. Упомянем основные из этих свойств. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. При перемене направления у контура интегрирования величина интеграла меняет лишь знак. Если разбить контур интегрирования на несколько частей, то величина интеграла по всему контуру равна сумме интегралов по отдельным его частям.

Выведем теперь одно важное неравенство, дающее оценку величине интеграла (15). Положим, что на контуре модуль подинтегральной функции не превышает положительного числа т. е.

и пусть s — длина контура

При этом для интеграла (15) имеет место следующая оценка:

Действительно, обратимся к сумме (15), дающей в пределе интеграл. Принимая во внимание, что модуль суммы меньше или ранен, сумме модулей слагаемых, получим

или, в силу (17),

Сумма, стоящая множителем при МУ представляет собою, очевидно, периметр ломаной линии, вписанной в контур и, переходя в последнем неравенстве к пределу, будем иметь неравенство (18).

Можно указать более точную оценку для интеграла (15), а именно, если обозначить через дифференциал дуги кривой то имеет место формула

Это неравенство может быть непосредственно получено, если, в подинтегральном выражении заменить на на .