1. Функции комплексного переменного.

При изложении дифференциального и интегрального исчисления мы считали, что как независимая переменная, так и функция принимают лишь вещественные значения. Далее, при изложении основ высшей алгебры мы рассматривали наиболее элементарную функцию, а именно — полином, и в том случае, когда независимая переменная принимает комплексные значения. Целью настоящей главы является распространение основ анализа на случай функции от комплексного переменного.

Возьмем, например полином

где заданные комплексные числа. Мы можем считать, что и независимая переменная z принимает любые комплексные значения, и таким образом функция будет определена для любых комплексных значений z.

То же самое можно сказать о рациональной функции

или о выражениях, содержащих радикалы, например:

В главе VI тома I мы определили элементарные трансцендентные функции для случаев комплексных значений независимого переменного, а именно для показательной функции мы имеем:

и, определив таким образом показательную функцию, сможем определить и тригонометрические функции при комплексных значениях

аргумента

Напомним выражение для натурального логарифма комплексного числа:

где есть модуль обозначает аргумент переменной z. Точно так же, рассматривая функции, обратные (1), мы приходим к обратным круговым функциям комплексного переменного:

Нетрудно показать, что эти функции могут быть выражены через логарифм. Положим, например,

откуда

или

Умножая числитель и знаменатель на i и логарифмируя, получим

Совершенно так же, если положить

то получим квадратное уравнение для :

откуда

и, следовательно,

где надо брать оба значения квадратного радикала.

Как мы увидим в дальнейшем, все вышеуказанные элементарные функции комплексного переменного имеют производную как функции комплексного переменного, т. е. для них существует определенный предел отношения

когда комплексное выражение стремится к нулю. Вся настоящая глава и будет посвящена изложению основ теории функций комплексного переменного, имеющих производную. Эта теория отличается чрезвычайно большой отчетливостью и простотой, с одной стороны, а с другой стороны, имеет широкое применение ко многим отделам естествознания и техники. В настоящей главе будет дан краткий очерк самой теории, а приложения будут изложены в следующих главах. Мы надеемся таким путем достигнуть более отчетливого и компактного изложения теоретических основ.

В дальнейшем мы будем очень часто пользоваться геометрической интерпретацией комплексного числа, о которой говорили уже в [I, 170].

Напомним кратко основную идею этой интерпретации. Отнеся плоскость к прямолинейным прямоугольным осям , мы можем каждой точке этой плоскости сопоставить или две вещественные координаты или одну комплексную координату что и будем делать дальше. В этом смысле плоскость называется плоскостью комплексного переменного, ось X — вещественной осью и ось Y — мнимой осью. Кроме этой точечной интерпретации комплексного числа, мы будем пользоваться, главным образом в следующих главах, еще и векторной интерпретацией, при которой комплексному числу сопоставляется вектор, составляющие которого на координатные оси равны и у. Непосредственно очевидна связь между двумя этими интерпретациями, а именно: если провести вектор из начала координат в точку с комплексной координатой то этому вектору будет соответствовать то же самое комплексное число Вообще, если на нашей плоскости провести вектор, имеющий начало в точке А с комплексной координатой и конец в точке В с комплексной координатой то этому вектору АВ будет соответствовать комплексное число, равное разности комплексных координат конца и начала:

Напомним некоторые результаты, изложенные раньше [I, 171 и 172].

Сложению комплексных чисел соответствует геометрическое сложение соответствующих этим числам векторов. Модуль комплексного числа есть длина соответствующего вектора, а аргумент равен углу, образованному вектором с осью X.

Если комплексная переменная z меняется, то соответствующая точка двигается по плоскости.

Мы будем говорить, что стремится к пределу где а и b — постоянные, если модуль разности

стремится к нулю.

Из написанного выражения непосредственно следует, поскольку под радикалом стоят положительные слагаемые, что равносильно тому, что

Итак,

равносильно

При этом, очевидно, переменная точка М, соответствующая числу стремится к точке А с комплексной координатой как к своему предельному положению. Как нетрудно показать, на чем мы останавливаться не будем, для комплексного переменного имеют место обычные теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

Заметим еще, что из определения предела вытекает, что равносильно . Далее, если , то, очевидно,

Для комплексного переменного имеет место также признак Коши существования предела.

Пусть имеется, например, последовательность значений комплексного переменного

Существование предела у этой последовательности равносильно существованию пределов у вещественных последовательностей а для существования этих пределов необходимо и достаточно, чтобы абсолютные значения разностей становились сколь угодно малыми при достаточно больших [I, 31]. Принимая во внимание, что

и что под радикалом стоят положительные слагаемые, мы видим, что для существования предела последовательности необходимо и достаточно, чтобы становился сколь угодно малым при всех достаточно больших т. е., точнее говоря, при любом заданном положительном в существует такое N, что если только

В общем случае комплексного переменного мы должны повторить о комплексном переменном то, что мы говорили в начале тома I о вещественном переменном. Необходимое и достаточное условие существования предела комплексного переменного z состоит в следующем: при любом заданном положительном существует такое значение переменной z, что , если только и z — любые два значения, следующие после упомянутого значения. В дальнейшем мы будем говорить, что комплексное переменное z стремится к бесконечности, если .

Перейдем теперь к рассмотрению функции комплексного переменного

и условимся относительно некоторых терминов. Функция f(z) может быть определена или на всей плоскости, или лишь в некоторой области плоскости комплексного переменного например в некотором круге, или прямоугольнике, или кольце и т. д. У всякой такой области мы будем отличать внутренние ее точки и точки контура. Так, например, в случае круга с центром в начале координат и радиусом единица, внутренние точки характеризуются условием

а контуром является окружность

Характерным свойством внутренней точки является то свойство, что не только она сама, но и некоторая ее окрестность целиком принадлежит области, т. е. точка М будет внутренней точкой области, если этой области принадлежит целиком некоторый достаточно малый круг с центром М. Точки контура не являются уже внутренними точками области, но в сколь угодно малой окрестности точки контура находятся внутренние точки области. Мы будем, кроме того, считать, что наша область не распадается на отдельные куски (связность области), иначе говоря, будем предполагать, что любые две точки области могут быть соединены некоторой линией, которая целиком находится внутри области. В дальнейшем под областью будем подразумевать обычно лишь совокупность внутренних точек области. Если же к области присоединяется и граница, то будем называть область замкнутой [II, 91].

Кроме того, мы будем называть область ограниченной, если все ее точки находятся на конечном расстоянии от начала. В дальнейшем еще несколько дополним характеристику понятия области.

Вернемся к рассмотрению функции . Положим, что она определена внутри некоторой области т. е. во всякой точке z, лежащей внутри имеет определенное комплексное значение (мы говорим об однозначных функциях). Пусть некоторая точка внутри В. Функция называется непрерывной в точке если при т. е. при любом данном положительном существует такое положительное что если только Функция называется непрерывной внутри если она непрерывна во всякой точке, находящейся внутри В. Функция может быть определена не только внутри В, но и на границе I области, т. е. в замкнутой области 5. Мы будем говорить, что такая функция непрерывна в замкнутой области если она непрерывна в каждой точке этой замкнутой области В. При определении непрерывности в какой-либо точке границы I надо иметь в виду, что точка может стремиться к любым образом, но не покидая замкнутой области В. Как и в случае вещественного переменного, имеет место теорема: если непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она равномерно непрерывна в этой области, т. е. для любого заданного положительного в существует такое положительное и то же для всей области), что если где и принадлежат упомянутой замкнутой области.

Напишем z и разложенными на вещественную и мнимую части:

Задать z это значит задать x и у, и задать значит задать и и v, т. е. и и v мы должны считать функциями х и у:

В элементарных функциях такое разделение вещественной и мнимой частей может быть произведено при помощи простых операций, например:

Положим, что условие равносильно

Определение непрерывности в точке дает, что при , т. е. при мы должны иметь

или

что равносильно

и

Следовательно, непрерывность f(z) в точке равносильна непрерывности в точке

Разделяя вещественную и мнимую части и пользуясь свойством непрерывности элементарных функций вещественного переменного, мы убеждаемся в том, что полином, непрерывные функции на всей плоскости комплексного переменного. Рациональная лробь непрерывна везде, кроме тех точек где ее знаменатель обращается в нуль. Точно так же непрерывен везде, кроме тех точек где обращается в нуль. Как и в случае вещественного переменного, сумма и произведение конечного числа непрерывных функций — также непрерывные функции, а частное двух непрерывных функций непрерывно, кроме тех значений , в которых знаменатель обращается в нуль.

При изложении дальнейшей теории мы будем заниматься сначала однозначными функциями, а затем специально рассмотрим вопрос и о многозначных функциях. Примерами многозначных функций являются функция (2) и обратные круговые функции.