18. Аналитическое продолжение.

Если некоторая функция регулярна в некоторой области В, то естественно возникает вопрос: нельзя ли расширить область определения функции, т. е. нельзя ли создать более широкую область С, содержащую В внутри себя, и в этой более широкой области определить регулярную функцию которая бы в первоначальной области В совпадала с Такое расширение области определения регулярной функции или, как еще можно сказать, экстраполирование регулярной функции, называется аналитическим продолжением функции. Оказывается, что если такое аналитическое продолжение возможно, то оно является вполне определенным, единственным. В этом отношении регулярные функции комплексного переменного существенным образом отличаются, например, от непрерывных функций вещественного переменного. Действительно, положим, что нам дана некоторая непрерывная функция вещественного переменного в некотором промежутке Мы можем, очевидно, не нарушая непрерывности, продолжить график этой функции и вне промежутка и при этом бесчисленным множеством способов. Для регулярных же функций комплексного переменного значения в первоначальной области В вполне определяют и значения функции вне этой области, если только расширение области, т. е. аналитическое продолжение, вообще возможно. Надо только заметить, что, совершая аналитическое продолжение, мы можем прийти и к многозначным функциям. Целью настоящего номера является выяснение всех обстоятельств, которые могут встретиться при аналитическом продолжении и, главным образом, доказательство единственности такого продолжения.

Выясним предварительно некоторые свойства регулярных функций.

Пусть точка является корнем регулярной функции . При этом в ряде Тейлора с центром b будет отсутствовать свободный член и, может быть, еще несколько следующих членов. Положим, что первый член, отличный от нуля, будет порядка т. е.

или, иначе,

В этом случае называется корнем кратности т. Обратимся к формуле (93) и положим, что z равно некоторому числу, близкому к но отличному от b. При этом множитель будет отличен от нуля, и сумма, стоящая в квадратных скобках, будет близкой по величине к числу отличному от нуля, т. е. также будет отлична от нуля.

Иначе говоря, во всех точках, достаточно близких к корню регулярной функции, эта функция уже отлична от нуля. Другими словами, корни регулярной функции суть изолированные точки. В предыдущем рассуждении мы предполагали, конечно, что разложение Тейлора (92) содержит хоть один член, отличный от нуля. В противном случае мы должны, очевидно, считать функцию тождественно равной нулю, хотя бы в том круге, для которого имеем разложение Тейлора. Основываясь на нашем рассуждении, докажем теперь теорему, которая является основной в вопросе единственности аналитического продолжения.

Теорема. Если регулярна внутри некоторой области В и обращается в нуль в некоторой области р, составляющей часть то равна нулю тождественно во всей области В.

Будем доказывать от противного. Положим, что отлична от нуля в некоторой точке с области В. Возьмем внутри некоторую точку b и соединим ее с с кривой принадлежащей области В. На некотором участке этой кривой, примыкающем к точке b, наша функция равна нулю, а на участке, примыкающем к точке с, она от нуля отлична. Таким образом, на кривой l должна существовать некоторая точка d, обладающая тем свойством, что на всем участке наша функция равна нулю, а на участке есть точки, сколь угодно близкие к в которых наша функция от нуля отлична. Регулярная функция является в то же время и непрерывной и, следовательно, в самой точке d она должна иметь корень. Но этот корень оказывается не изолированным, ибо вся дуга кривой t состоит из корней нашей функции. Но тогда из наших предыдущих рассуждений следует, что разложение в ряд Тейлора нашей функции с центром d должно обращаться тождественно в нуль, и, следовательно, наша функция должна быть равной нулю в некотором круге с центром т. е. она должна равняться нулю и на некотором участке кривой, примыкающем к точке d и составляющем часть участка . Это обстоятельство противоречит тому свойству точки что на участке есть точки, сколь угодно близкие к где отлична от нуля. Таким образом, высказанная теорема доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы можно было бы ограничиться требованием, что обращается в нуль на некоторой кривой, лежащей внутри В. При этом функция должна была бы, очевидно, обращаться в нуль и в некотором круге, имеющем центр в одной из точек упомянутой кривой.

Достаточно даже предположить, что корни имеют точку сгущения внутри В, т. е. существует такая точка b внутри что в круге с центром b и любым малым радиусом находится бесчисленное множество корней При этом, в силу предыдущих соображений, ряд Тейлора с центром b должен был бы обращаться тождественно в нуль, т. е. была бы равной нулю в некотором круге с центром b, т. е. была бы равна нулю везде в В.

Следствие. Положим, что две функции регулярные внутри совпадают на некотором куске этой области [3 или на некоторой кривой. При этом разность должна быть равной нулю в , и, согласно доказанной теореме, она будет равной нулю и во всей области, т. е. если две функции, регулярные в некоторой области, совпадают в некоторой части этой области на кривой), то они совпадают и во всей области.

Положим, что у наших двух функций совпадают их значения и значения всех их производных в некоторой одной точке b области В.

Рис. 11.

При этом будут совпадать и их разложения в ряд Тейлора с центром в т. е. наши функции будут совпадать в некотором круге с центром а потому будут совпадать и во всей области, т. е. совпадение значений функций и всех производных в некоторой одной точке влечет за собой совпадение функций во всей области, где эти функции регулярны.

Обратимся теперь к вопросу об аналитическом продолжении. Пусть регулярна в области и положим, что нам удалось построить новую область имеющую с общую часть (тоже область; рис. 11), и определить в области регулярную функцию совпадающую с Можно назвать непосредственным аналитическим продолжением из через Функция, определенная в как как дает единую регулярную функцию во всей расширенной области. Покажем, что не может существовать двух различных аналитических продолжений. Действительно, положим, что мы имеем два различных аналитических продолжения из через Эти две функции регулярные в должны совпадать с а следовательно, и между собой в Но тогда, в силу доказанного выше, они совпадают и во всей области т. е. дают одно и то же аналитическое продолжение.

Положим, мы имеем теперь целую цепь областей причем имеют общую часть имеют общую часть и т. д. В области имеется регулярная функция совпадающая с . В области имеется регулярная функция совпадающая с и т. д. Здесь мы имеем аналитическое продолжение при помощи нашей цепи областей, и это аналитическое продолжение единственно. Заметим, что, вообще говоря, области могут налегать друг на друга и помимо тех частей о которых мы упоминали выше.

Рассмотрим для примера цепь, состоящую из трех областей и положим, что налегаетна (рис. 12). На этом налегающем куске, заштрихованном на чертеже, значения определенные в и значения определенные в могут быть и различными. При этом будем иметь при аналитическом продолжении многозначную функцию. Но мы можем геометрически избегнуть многозначности, а именно, если на заштрихованном куске значения различны, то будем считать, что этот заштрихованный кусок состоит как бы из двух листов: одного, принадлежащего и другого, принадлежащего .

Рис. 12.

Рис. 13.

Факт многозначности может встретиться уже при первом шаге аналитического продолжения. Положим, мы имеем аналитическое продолжение из через но имеет с еще общую часть . На значения могут и не совпадать со значениями Совокупность всех значений, получаемых при помощи всевозможных аналитических продолжений исходной функции образует единую функцию, которую назовем аналитической функцией и обозначим через Как мы уже упоминали, эта функция может оказаться и многозначной.

Часто вместо аналитического продолжения при помощи цепи областей говорят об аналитическом продолжении вдоль некоторой кривой. Пусть имеется некоторая линия разделенная на последовательные участки: так что участок имеет с участком общую часть Положим, что эта кривая l покрыта цепью областей так что участок находится внутри

Обозначим через область, по которой перекрываются и которая содержит участок линии l. (Областей, по которым перекрываются может быть несколько или даже бесчисленное множество, но мы берем именно ту из этих областей, которая содержит внутри себя.) Как указано на рис. 14, мы считаем, что области имеют общую односвязную часть, содержащую отрезок линии Положим, что в имеется регулярная функция и что ее можно аналитически продолжить при помощи цепи областей

Вместо этого говорят, что можно продолжить вдоль линии I. Значения функции на участке в окрестности этого участка) нам заданы, и, применяя основную теорему настоящего номера, мы убедимся, как и выше, в том, что аналитическое продолжение вдоль может быть только одно. Оно не зависит от того, как мы разбили l на участки и какими областями с указанными выше свойствами мы покрываем линию

Вернемся к аналитическому продолжению вдоль при помощи определенной цепи областей . В окрестности каждой точки линии аналитическая функция будет иметь определенное представление в виде ряда Тейлора. Назовем этот ряд элементом функции в соответствующей точке линии l. Если мы немного деформируем линию оставляя неизменными концы то она не выйдет из областей и тот элемент функции который мы имеем в точке останется прежним.

Рис. 14.

Отсюда нетрудно видеть, что если вообще, сохраняя концы кривой Р и будем ее непрерывно деформировать, причем в любом ее положении возможно аналитическое продолжение исходного элемента в точке вдоль линии, то полученный в результате аналитического продолжения элемент в точке будет все время одним и тем же.

Положим, что при аналитическом продолжении вдоль некоторой кривой l от точки мы можем совершить продолжение лишь до некоторой точки С, а дальше аналитическое продолжение вдоль этой кривой невозможно. При этом точка С называется особой точкой нашей функции. Отметим только одно существенное обстоятельство, а именно: если бы мы при аналитическом продолжении из точки в точку С совершили это продолжение не вдоль кривой а вдоль некоторой другой кривой то при этом точка С могла бы и не оказаться особой, т. е., вообще говоря, особая точка определяется не только своим положением на плоскости, но и тем путем, которым мы к ней пришли, совершая аналитическое продолжение (см. пример из [19]). В дальнейшем мы почти всегда будем иметь дело с более простым случаем, когда положение особых точек может быть фиксировано заранее и не связано с путем аналитического продолжения.

В непосредственной связи с предыдущим стоит одна важная в теории аналитического продолжения теорема, которая называется теоремой однозначности.

Если аналитическое продолжение некоторого исходного элемента функции возможно по любому пути, лежащему в некоторой односвязной области В, то эти аналитические продолжения вдоль путей, принадлежащих В, дают однозначную в В функцию.

Действительно, пусть исходный элемент функции определен в окрестности некоторой точки и возьмем два различных пути аналитического продолжения из в Ввиду односвязности области мы можем при помощи непрерывной деформации преобразовать контур в контур не покидая области В, и при этом, согласно условию теоремы однозначности, аналитическое про должение вдоль контура будет все время осуществимо. Но при этом, как мы упоминали выше, и окончательный результат в точке будет одним и тем же, т. е. наши различные пути аналитического продолжения приводят к одному и тому же окончательному результату, и мы действительно имеем в области В однозначную регулярную функцию.

Проведенное выше рассуждение не является строгим. Вообще выше мы ограничивались часто лишь простыми указаниями, не вдаваясь в подробные доказательства. Мы надеемся все же, что читатель составил себе представление об основных идеях аналитического про должения. Надо заметить, что изложенное выше имеет лишь теоретический характер и не дает никаких указаний на практическую возможность аналитического продолжения.

Упомянем еще об одном принципе теории функций, тесно связанном с аналитическим продолжением и называемом обычно принципом перманентности. Положим, что исходный элемент аналитической функции удовлетворяет некоторому уравнению, например дифференциальному уравнению второго порядка:

коэффициенты которого суть данные полиномы от z. При аналитическом продолжении производные а также и вся левая часть нашего уравнения испытывают аналитическое продолжение. Следовательно, если эта левая часть была равна нулю в исходной области, то она будет равной нулю и при аналитическом продолжении, т. е., иначе говоря, если исходный элемент аналитической функции удовлетворяет уравнению (94), то этому урав нению будет удовлетворять и вся аналитическая функция, получаемая, из исходного элемента путем аналитического продолжения.

Обратимся теперь к некоторому конкретному способу аналитического продолжения, а именно будем пользоваться лишь круговыми областями и разложением Тейлора в таких областях (рис. 15). Пусть начальный элемент функции задан некоторым рядом Тейлора с центром

Проведем из точки некоторый контур l и будем аналитически продолжать нашу функцию вдоль этого контура. Для этого будем поступать следующим образом: возьмем на нашей кривой l некоторую точку такую, чтобы дуга лежала внутри круга сходимости ряда (95). Пользуясь этим рядом, мы можем вычислить производные и написать разложение нашей функции с центром

Рис. 15.

Эта новая функция будет определена в некотором круге с центром Если этот круг будет выходить за круг , то функция (96) даст аналитическое продолжение . В точке значения функций и всех их производных будут совпадать, и эти функции будут совпадать в той круговой луночке, по которой наши круги перекрываются. Заметим, что мы можем получить ряд (96) из ряда (95) следующим образом. Перепишем ряд (95) в виде

Разлагая биному Ньютона и собирая в сумме (97) члены с одинаковыми степенями , получим ряд (96).

Совершив первое аналитическое продолжение, переходим к следующему. Для этого выбираем на кривой l новую точку такую, чтобы дуга принадлежала кругу Ряд можем, как и выше, перестроить по степеням и получим новый элемент функция

определенный в некотором круге с центром и т. д.

Отметим, что аналитическое продолжение можно совершать и через полюс а также через точку если эта точка есть точка регулярности или полюс аналитически продолжимой функции. В качестве простого примера рассмотрим аналитическое продолжение при помощи ряда Тейлора функции

Ряд сходится и определяет регулярную функцию лишь в круге Но его сумма есть регулярная функция на всей расширенной плоскости, кроме точки z = 1 (полюс), и, следовательно, мы можем аналитически продолжить ряд (98) при помощи ряда Тейлора на всю плоскость. Если мы возьмем внутри круга некоторую точку и перестроим ряд (98) по степеням то получим новый ряд вида

Этот ряд будет сходиться в круге с центром и радиусом, равным расстоянию от этой точки до точки Если точка не лежит на отрезке вещественной оси (0, 1), то этот новый круг выйдет за старый, и мы получим аналитическое продолжение, которое затем можем продолжать и дальше. Практически в данном случае, конечно, не надо применять аналитического продолжения ряда (98), а естественно пользоваться выражением функции в конечном виде Но если функция задана только степенным рядом, и никакого другого выражения для нее не известно, то нам остается лишь путь аналитического продолжения. В этом направлении было много работ, посвященных вопросу о возможно более простом практическом осуществлении аналитического продолжения. В дальнейшем мы дадим один из таких практических способов для одного частного случая. Сейчас перейдем к выяснению аналитического продолжения на примерах элементарных многозначных функций.