103. Уравнение Гаусса.

Перейдем к рассмотрению уравнения класса Фукса с тремя особыми точками. Пользуясь дробно-линейным преобразованием плоскости независимого переменного, мы можем, не ограничивая общности, считать, что эти особые точки суть

Обозначим корни определяющего уравнения в этих точках следующим образом:

Для коэффициентов уравнения получим следующие выражения:

где

Уравнение

по условию имеет корни , откуда непосредственно вытекает

Точно так же из определяющего уравнения в точке получим

Определяющее уравнение в точке будет иметь вид

Подставляя сюда один из его корней найдем выражение для С

и условие (60) даст нам, наконец, . Таким образом, в случае трех особых точек оказывается, что коэффициенты уравнения вполне определяются по корням определяющих уравнений в особых точках. Из предыдущих вычислений непосредственно вытекает, что можно произвольно задавать эти корни для точек а для точки можно произвольно задать лишь один корень. Второй корень вполне определится из того условия, что в данном случае сумма всех шести корней должна равняться единице (числу особых точек на конечном расстоянии, уменьшенному на единицу).

Всякое решение построенного уравнения обозначают иногда следующим символом:

который был введен Риманом.

Введем теперь некоторое элементарное преобразование функции w для того, чтобы упростить вид уравнения. Заметим, что если вместо w введем новую искомую функцию и по формуле

то для новой функции получим также уравнение с тремя регулярными особенностями: но только наличие множителя даст нам вместо корней и определяющего уравнения в точке для и новые корни . Точно так же в точке новые корни определяющего уравнения будут . Выбирая можно достигнуть того, чтобы в особых точках один из корней определяющего уравнения был равен нулю, что мы и будем считать в дальнейшем.

Введем теперь новые обозначения. Обозначим через корни определяющего уравнения в точке . Для точки будем иметь один корень, равный нулю, а второй корень обозначим через . Наконец, для точки будем иметь один корень нуль, второй корень определится из того условия, что сумма всех шести корней должна равняться единице, и он, следовательно, будет . Таким образом, вместо, общего символа (61) можем рассматривать следующий частный случай:

Коэффициенты уравнения определятся из предыдущих вычислений, если положить там

Мы получим, таким образом, уравнение вида

Это уравнение называется гипергеометртеским дифференциальным уравнением, или уравнением Гаусса. Перейдем теперь к построению его решений вблизи особых точек.