152. Новые интегральные представления.
Для выяснения ряда свойств функций Бесселя удобно пользоваться интегральными представлениями, отличающимися от тех, которые мы вывели раньше. Эти представления могут быть получены или суперпозицией плоских волн 
или методом интегральных преобразований, или же, наконец, методом прямого преобразования введенных выше явных выражений для функций Бесселя. Мы будем следовать третьему пути рассуждений. Подставим в формулу (7) вместо 
выражение через контурный интеграл [74], т. е.
где V - контур, охватывающий отрицательную часть вещественной оси. Мы получим
Выполняя суммирование, найдем
Будем считать, что комплексное число 
удовлетворяет условию
и сделаем замену переменных по формуле Тогда мы получим
причем в качестве пути интегрирования 
можно взять прежний же петлеобразный контур 
. Формула (83) была указана Н. Я. Сониным (1870 г.).
Выберем в качестве 
контур, состоящий из нижнего берега разреза по отрицательной части вещественной оси, круга 
и верхнего берега упомянутого разреза. Перейдем к новой переменной интегрирования по формуле 
Тогда путь интегрирования 
перейдет в контур 
изображенный на рис. 74, а функция 
представится следующим окончательным выражением:
Рис. 74.
Заметим, что все участки контура 
расположенные на конечном расстоянии от начала координат, можно деформировать любым образом. Для получения дальнейших результатов удобно преобразовать интеграл (84). Это легко сделать, если считать, что 
имеет вид, указанный на рис. 74 и положить
Пользуясь соотношением 
нетрудно получить следующую формулу 
Построим теперь интегральные представления типа (84) для остальных цилиндрических функций.
Если воспользоваться формулой (85), а также соотношением [149]
то можно получить равенство
Последняя же формула, вместе с формулой (85), позволяет найти и интегральные представления для функций Ханкеля:
Мы получаем
где 
являются бесконечными контурами, соединяющими точку 
соответственно, с точками 
Распространение формул (85) и (87) на случай произвольных значений z можно произвести методом аналитического продолжения.
