97. Функции нескольких матриц.

Перейдем теперь к выяснению основных понятий и фактов, связанных с функциями нескольких матриц. Ввиду некоммутативности, вся теория функций нескольких неременных матриц представляется гораздо более сложной, чем теория функций одной переменной матрицы, и мы ограничимся лишь рассмотрением самых основных элементов теории функций нескольких матриц.

Начнем со случая полинома. Общий вид однородного полинома второй степени от двух матриц будет

Однородный полином второй степени от l переменных матриц будет иметь вид

где суммирование производится по переменным и 4, которые пробегают независимо друг от друга все целые значения от 1 до Однородный полином степени от l переменных матриц будет иметь вид

Здесь, как и в предыдущем, обозначают некоторые численные коффициенты. В формуле (110) каждая из переменных суммирования пробегает все целые значения от 1 до так что написанная сумма будет содержать всего слагаемых. Рассмотрим теперь тот частный случай, когда в формуле (110) все коэффициенты равны единице:

Нетрудно проверить, что сумма (111) представляет собою степень суммы матриц , т. е.

Так, например,

Перейдем теперь к рассмотрению степенного ряда от I матриц» Такой ряд может быть записан в виде

Полное исследование сходимости этого ряда представляет гораздо большие трудности, чем в случае степенного ряда от одной матрицы, и мы ограничимся лишь доказательством достаточного условия абсолютной сходимости ряда (113). Заметим при этом, что ряд (113), как и в случае ряда от одной матрицы, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

причем сходимость этого последнего ряда гарантирует и сходимость ряда (113) и независимость суммы этого ряда от порядка слагаемых. Фиксируем целое число и обозначим через наибольший из модулей , т. е.

Составим ряд обычного комплексного переменного

и пусть его радиус сходимости, где — порядок матриц. Заменяя в ряде (114) коэффициенты ббльшими, а именно будем иметь ряд

который можно переписать, очевидно, в виде

Этот ряд можно рассматривать как степенной ряд от одной матрицы

и, принимая во внимание, что радиус сходимости ряда (116) равен можем утверждать [87], что ряд (117) будет сходиться при условии

При этом ряд (114) и подавно будет сходящимся. Получаем, таким образом, следующую теорему:

Теорема. Если положительные числа определяются из условия (115), и ряд имеет радиус сходимости пр, то степенной ряд (113) абсолютно сходится при условии (118).

В частном случае, если радиус сходимости ряда (116) равен бесконечности, то ряд (113) будет абсолютно сходящимся при любом выборе матриц

Заметим еще, что функция определяемая как сумма ряда (113), удовлетворяет очевидному соотношению

где — любая матрица с определителем, отличным от нуля. Совершенно аналогичное свойство мы имели раньше для аналитической функции от одной переменной матрицы.

Отметим в заключение, не останавливаясь на доказательстве, одну особенность степенных рядов многих матриц в отношении теоремы единственности. Здесь теорема единственности читается так: если равенство

имеет место для всех матриц

любого порядка, достаточно близких к нулевой матрице, то

Если бы мы опустили в формулировке требование любого порядкау то теорема оказалась бы несправедливой. В частности, можно построить однородный полином с коэффициентами, отличными от нуля

обращающийся тождественно в нуль для всех матриц определенного порядка.

Построение общей теории аналитических функций от матриц и ее приложение к теории систем линейных дифференциальных уравнений было дано в работах И. А. Лаппо-Данилевского, напечатанных в Журнале Ленинградского физико-математического общества. В настоящее время все материалы, оставшиеся после смерти И. А. Лаппо-Данилевского, опубликованы в Трудах Математического института Академии наук.