3. Конформное преобразование.

Выясним геометрический смысл понятия функциональной зависимости и производной. Положим, что функция регулярна в некоторой области В плоскости . Всякому значению z из области В соответствует определенное значение и совокупность всех значений соответствующих всем из В, заполняет некоторую новую область которую мы нарисуем на новой плоскости комплексного переменного

Рис. 1.

Таким образом, наша функция совершает преобразование области В в область Строго говоря, мы должны были бы более подробно исследовать зависимость между точками , осуществляемую нашей функцией, и доказать, что совокупность значений w также заполняет некоторую область. В дальнейшем, имея в руках аналитический аппарат, мы займемся этим более подробным исследованием, а в настоящий момент ограничимся лишь общими указаниями, которые все же дадут возможность читателю выяснить геометрический смысл вводимых понятий. В дальнейшем будет показано, что если в некоторой точке z производная f(z) отлична от нуля, то достаточно малый круг с центром z перейдет в некоторую область на плоскости w, содержащую соответствующую точку внутри себя.

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла модуля и аргумента производной, причем будем считать, что производная f(z) в рассматриваемой точке отлична от нуля. Возьмем две близкие точки z и Соответствующие им точки в области будут

Возьмем отрезки MN и соединяющие z с Этим векторам соответствуют комплексные числа Таким образом, отношение длин этих векторов будет

или, принимая во внимание, что модуль частного равен частному модулей,

пределе при стремлении N к М точка будет стремиться к и мы получим

т. е. модуль производной характеризует изменение линейных размеров в точке z при преобразовании, совершаемом функцией

Рис. 2.

Если, например, то при преобразовании линейные размеры в точке увеличиваются в три раза.

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента производной. Положим, что точка N стремится к точке М вдоль некоторой линии и пусть соответствующая линия в области . Аргумент комплексного числа дает угол, образованный вектором MN с вещественной осью, и точно так же дает угол, образованный вектором с вещественной осью.

Разность, указанных аргументов, т. е.

представляет собою угол, образованный направлением вектора MNV с направлением вектора MN, причем этот угол отсчитывается от вектора MN противоположно часовой стрелке. Принимая во внимание, что аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя, можем написать

В пределе направление вектора MN совпадает с направлением касательной к кривой I в точке , а направление вектора совпадает с направлением касательной к кривой в точке

Переходя в предыдущей формуле к пределу, мы видим, что аргумент производной дает угол поворота в данной точке z в результате преобразования, совершаемого функцией Иными словами, если провести через z какую-нибудь кривую I, имеющую в точке z определенную касательную, то в результате преобразования получится новая кривая касательная к которой в соответствующей точке w будет образовывать с вышеуказанной касательной угол, равный аргументу производной. Если мы возьмем в области В две кривые, пересекающиеся в точке z под некоторым углом, то в результате преобразования касательные к этим кривым повернутся на один и тот же угол, равный аргументу производной, и, следовательно, угол между преобразованными кривыми будет прежним как по величине, так и по направлению, т. е. преобразование, совершаемое регулярной функцией, сохраняет углы во всех точках, где производная этой функции отлична от нуля. Такое преобразование, сохраняющее углы, называется обычно конформным.

Если мы нанесем в области В плоскости ХУ некоторую сетку кривых, то в результате преобразования получим также сетку кривых, но уже, конечно, других, причем углы между кривыми сохраняются, кроме тех точек, где производная равна нулю. Если мы возьмем, например в области В, сетку прямых, параллельных осям, то в области получим уже криволинейную, вообще говоря, сетку, но углы между кривыми останутся по-прежнему прямыми, т. е. сетка останется ортогональной. Больше того, если мы покроем область В малыми одинаковыми квадратами, то каждый такой квадрат превратится в области в малый криволинейный прямоугольник, стороны которого приближенно будут равны произведению длины стороны квадрата на модуль производной в какой-либо из точек этого квадрата, т. е. упомянутый выше криволинейный прямоугольник будет также с точностью до малых высших порядков квадратом, но так как значение в разных точках будет разное, то эти криволинейные квадраты, заполняющие будут иметь различные по длине стороны.

Пусть точка принадлежит области регулярности В функции . При этом можно утверждать, как будет потом доказано, что преобразует некоторую окрестность точки в некоторую окрестность точки находится внутри В, так что в существует однозначная обратная функция преобразующая в BQ. При этом регулярна в и имеет место правило дифференцирования обратной функции

Окрестность BQ точки во всяком случае должна быть такой, что во всех ее точках . В дальнейшем мы исследуем и тот случай, когда обращается в нуль, и более подробно рассмотрим вопрос об обратной функции.

Остановимся кратко на понятии сложной функции где Пусть регулярна внутри некоторой области В и преобразует ее в некоторую область плоскости w. Положим, далее, что регулярна в В. При этом сложная функция - регулярная функция от в для нее имеет место правило дифференцирования, выражаемое формулой (6).

Отметим, что это правило справедливо и в том случае, когда функция такова, что в В нет однозначной обратной, т. е. при различных z из В могут получаться одинаковые w из В и под В подразумевается множество значений когда z меняется в В. Как мы увидим в дальнейшем, есть некоторая открытая область на плоскости w. B упомянутых случаях обычно не говорят, что преобразует В и . Этот вопрос будет выяснен в дальнейшем.