7. Формула Коши.

Пусть некоторая функция, регулярная в замкнутой области В, которую мы пока для простоты будем считать односвязной. Пусть I — контур этой области и а — некоторая точка внутри этой области.

Составим новую функцию

Эта новая функция также регулярна везде в кроме, может быть, точки , так как в этой точке знаменатель дроби (29) обращается в нуль. Исключим эту точку кружком с центром а и малым радиусом , и пусть С — окружность этого круга. В кольце, ограниченном контурами l и наша функция (29) будет регулярной без всякого исключения, и, следовательно, согласно теореме Коши, мы можем написать

В интеграле, стоящем справа, положим Тогда

или, в силу (28),

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: интеграл, стоящий в левой части формулы (30), и первое слагаемое правой части не зависят от выбора радиуса , поэтому можно утверждать, что и второе слагаемое, стоящее справа, на самом деле не зависит от е. Но мы сейчас докажем, что оно стремится к нулю, когда Отсюда будет непосредственно следовать, что оно в точности равно нулю.

Применяя оценку из [4] и принимая во внимание, что при движении z по окружности с центром а, очевидно, получим

При беспредельном уменьшении e точки окружности z стремятся к а, и максимум модуля разности будет стремиться к нулю, т. е. действительно второе слагаемое правой части формулы (30) стремится к нулю вместе с s, и по высказанным выше соображениям оно равно нулю. Таким образом формула (30) переписывается в виде

Переменим несколько наше обозначение, а именно будем обозначать через переменную интегрирования и через z — любую точку внутри нашей области. При этом предыдущая формула примет вид

Эта формула Коши выражает значение регулярной функции в любой точке z внутри области через ее значения на контуре области. Интеграл, входящий в формулу Коши, содержит z под знаком интеграла в качестве параметра и притом в чрезвычайно простой форме.

Точка z находится внутри области, а переменная точка интегрирования пробегает контур области. Таким образом, и интеграл, стоящий в формуле Коши, представляет собою интеграл от непрерывной функции, и его можно дифференцировать по z под знаком интеграла сколько угодно раз. Мы получаем, последовательно дифференцируя,

и вообще при любом целом положительном

Мы видим, таким образом, что регулярная функция имеет производные всех порядков, и эти производные выражаются через контурные значения функции по формуле (32).

Докажем строго возможность дифференцировать под знаком интеграла для определения . Мы имеем

или

Если справа перейти к пределу при под знаком интеграла, то мы получим для этого предела выражение

Остается доказать возможность упомянутого предельного перехода под знаком интеграла, т. е. надо доказать, что разность

стремится к нулю при

После элементарных преобразований получаем

Функция во всяком случае непрерывная на будет ограниченной по модулю, т. е. Обозначим через положительное число, равное кратчайшему расстоянию от точки z до контура . Точка при близких к нулю, близка к , а потому . Применяя обычную оценку интеграла, получим

где s — длина контура, откуда и вытекает, что при . Совершенно так же можно показать, исходя из формулы , что также имеет производную

что и требовалось доказать.

Формулы (31) и (32), как и теорема Коши, непосредственно применимы и для многосвязной области, при этом надо только интегрировать по всему контуру области в положительном направлении, т. е. имея область слева.

Распространим теперь формулу Коши на случай бесконечной области. Пусть регулярна в области образованной частью плоскости, находящейся вне замкнутого контура и подчиняется дополнительному условию, а именно — при беспредельном удалении точки z функция стремится к нулю:

Рис. 6.

Покажем, что при этом также имеет место формула Коши

причем направление интегрирования берется так, чтобы область В (в данном случае часть плоскости вне Г) находилась слева. Для доказательства проведем круг с центром в начале и с большим радиусом R. Наша функция регулярна в кольце, ограниченном контуром I и окружностью (рис. 6) проведенного круга, и мы имеем для любой точки z внутри этого кольца

Как и при доказательстве формулы Коши, мы убеждаемся, что второе слагаемое в правой части по существу не зависит от выбора R, и, следовательно, если мы докажем, что оно стремится к нулю при беспредельном возрастании R, то отсюда будет следовать, что оно тождественно равно нулю, и при этом формула (35) перейдет в формулу (34). Оценим второе слагаемое правой части формулы (35). При этой оценке мы заменим модуль знаменателя меньшей величиной, а именно разностью модулей . В результате получится оценка вида

или

При беспредельном возрастании R написанная дробь стремится к а первый из множителей шах стремится к нулю согласно условию (33). Таким образом, мы доказали формулу Коши для случая бесконечной области. Заметим, что из доказательства следует, что условие (33) должно выполняться равномерно относительно . Иными словами, полностью это условие можно формулировать так: при любом заданном существует такой что если .

Иногда приходится иметь дело с функциями, которые регулярны внутри области и имеют определенные предельные значения при переходе на контур области, так что во всей замкнутой области они являются функциями непрерывными, но про них нельзя все же утверждать, что они регулярны в замкнутой области, т. е. что они остаются регулярными и при расширении области. Заметим, что для таких функций, регулярных в области и непрерывных в замкнутой области, имеют место как теорема Коши, так и формула Коши. Действительно, если мы сожмем немного контур, то функция станет регулярной и на контуре, и, например, теорема Коши будет применима, т. е. интеграл по контуру будет равен нулю. Если мы затем будем непрерывно расширять контур с тем, чтобы он совпал со своим первоначальным положением, то и в пределе интеграл по первоначальному контуру области будет тоже равным нулю. Здесь, конечно, возможен переход к пределу, так как функция равномерно непрерывна в замкнутой области.

Можно сказать, что почти все дальнейшие результаты настоящей главы являются непосредственным следствием формулы Коши, и мы много раз будем к ней обращаться. В настоящем номере мы приведем два примера применения этой формулы.

Проведем более подробно доказательство теоремы Коши для того случая, когда регулярна внутри круга с центром в начале и радиусом R и непрерывна в замкнутом круге Функция будет регулярной в замкнутом круге где любое положительное число, меньшее R. Теорема Коши применима, и мы имеем

На окружности этого круга и так что

Поскольку равномерно непрерывна в замкнутом круге [1], можно доказать возможность перехода к пределу под знаком интеграла при и в пределе получим

или, переходя опять к переменной , можем написать

что и требовалось доказать. Для контуров более сложного вида доказательство представляет большие трудности. Из теоремы Коши, как и выше, вытекает формула Коши для функций, регулярных внутри области и непрерывных в замкнутой области.

Пример I. Возьмем показательную функцию . Она регулярна на всей плоскости, и мы можем применить формулу (32), взяв за любой замкнутый контур, внутри которого находится точка :

Берем за l круг с центром и некоторым фиксированным радиусом .

Мы имеем

подставляя в предыдущую формулу, получаем

откуда

Отделяя вещественную часть, получим выражение для определенного интеграла довольно сложного типа:

Пример II. Рассмотрим рациональную дробь

где степень полинома стоящего в знаменателе, выше степени полинома . Такая функция удовлетворяет, очевидно, условию (33). Положим, кроме того, что есть замкнутый контур, содержащий внутри себя все корни полинома Мы можем утверждать после этого, что функция (37) регулярна на части плоскости, находящейся вне контура и что к ней применима формула Коши для бесконечной области. В этой формуле интегрирование по надо производить так, чтобы область, находящаяся вне была слева, т. е. по часовой стрелке. Если же будем интегрировать против часовой стрелки, то результат переменит знак, и будем, следовательно иметь

Обратим внимание на подинтегральную функцию в последнем интеграле. Как функция от она перестает быть регулярной или, как говорят, имеет особые точки внутри там, где обращается в нуль. Точка z не является особой, так как она находится вне контура l (внутри бесконечной области В). Наличие упомянутых точек, являющихся корнями полинома (2), и приводит к тому факту, что величина интеграла (38) по замкнутому контуру оказывается отличной от нуля.