99. Аналитическое продолжение решения.

Положим теперь, что коэффициенты уравнения (1) суть регулярные функции в некоторой области В плоскости комплексного переменного z. Возьмем некоторое решение этого уравнения, которое удовлетворяет определенным начальным условиям (2) в некоторой точке находящейся внутри . Такое решение, согласно предыдущему, будет изображаться степенным рядом, сходящимся в круге, с центром который находится целиком в области В (а может быть, и в более широком круге). Это будет некоторый ряд вида (13). Возьмем теперь

внутри круга сходимости этого ряда некоторую точку и перестроим наш ряд по степеням как это мы делали при аналитическом продолжении функции. Мы получим новый ряд

Его сумма будет совпадать с w в общей части кругов сходимости рядов (13) и (16). Следовательно, в этой общей части сумма ряда (16) будет являться решением уравнения (1), т. е., иначе говоря, при подстановке в левую часть уравнения (1) эта левая часть будет равна нулю в некоторой части круга сходимости ряда (16). Но тогда, в силу основного принципа аналитического продолжения, она будет равна нулю и во всей той части этого круга, которая принадлежит В; ряд (16) будет также давать решение нашего уравнения. Это решение будет вполне определяться своими начальными условиями в точке которые, очевидно, будут

где w определяется исходным рядом (13).

В силу доказанной в предыдущем номере теоремы, ряд (16) будет наверно сходиться в круге, имеющем центр в точке и принадлежащем той области В, где регулярные функции. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема И. Если коэффициенты суть регулярные функции в некоторой области В, то любое решение уравнения, изображаемое степенным рядом с центром внутри В, может быть аналитически продолжено по любому пути, находящемуся внутри В, и такое аналитическое продолжение дает все время решение уравнения (1).

Сделаем некоторые существенные добавления к доказанной теореме. Заметим, что если В есть односвязная область, то согласно основному свойству аналитического продолжения [18] w будет представлять собою однозначную регулярную функцию в области В, которая по доказанному будет решением уравнения (1). Если же В будет многосвязной областью, то w не будет, вообще говоря, однозначной функцией в области В.

Если — два решения уравнения (1), то мы имеем следующую формулу (II, 24]:

где С — некоторая постоянная. Если она отлична от нуля, то левая часть будет отличной от нуля все время при аналитическом продолжении, т. е. аналитическое продолжение линейно независимых решений

все время дает линейно независимые решения, и формула (15) дает тем самым аналитическое продолжение любого решения через аналитическое продолжение двух линейно независимых решений.

Если, например, коэффициенты суть рациональные функции, то всякое решение уравнения может быть аналитически продолжено по любому пути на плоскости, не проходящему через полюсы p(z) и q(z).