14. Ряд Тейлора.

Выше мы видели, что сумма ряда (56) есть регулярная функция внутри круга сходимости этого ряда. Докажем теперь обратное предложение: всякая функция регулярная в некотором круге с центром может быть представлена внутри этого круга степенным рядом вида (56), и такое представление единственно.

Рис. 9.

Возьмем какую-нибудь фиксированную точку z внутри круга . Проведем окружность С с центром b и радиусом меньшим R, но таким, чтобы z заключалась внутри (рис. 9). Мы можем выразить по формуле Коши, интегрируя по

На мы имеем , с другой стороны, поскольку z лежит внутри Пользуясь формулой для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можем написать

причем для модулей членов этого ряда имеем

и из предыдущего вытекает, что . Таким образом, бесконечный ряд (61) сходится равномерно относительно находящегося на Умножая обе его части на

и интегрируя по почленно, получим в силу формулы (60)

или

где в силу формулы Коши [7]

т. е. значение f(z) в любой точке внутри круга где регулярна, представляется рядом Тейлора:

Покажем теперь, что представление степенным рядом единственно. Положим, что внутри некоторого круга с центром b функция представима рядом вида (62). Покажем, что коэффициенты определяются единственным образом, а именно они должны быть коэффициентами Тейлора. Действительно, полагая в получим Продифференцируем степенной ряд (62):

Полагая получим Продолжая так и дальше, получим вообще

разложение (62) должно совпадать с рядом Тейлора (63). Таким образом, если мы какими-либо двумя способами получили разложение одной и той же функции в степенной ряд по целым положительным степеням то коэффициенты в обоих этих разложениях при одинаковых степенях (z — b) должны быть равными.

Предыдущие рассуждения показывают, что ряд Тейлора (63) функции сходится внутри такого круга с центром b, внутри которого регулярна, и внутри этого круга сумма этого ряда Тейлора равна

Из выражения коэффициентов ряда Тейлора непосредственно вытекает оценка величины этих коэффициентов. Пусть R — радиус сходимости ряда (62). Возьмем в формуле (62) за Сокружность с центром в точке b и радиусом (), где — фиксированное малое положительное число. На этой окружности наша функция регулярна, и ее модуль не превышает некоторого положительного числа и кроме того, очевидно, . Обычная оценка интеграла дает

Число можно брать сколь угодно близким к нулю, но, очевидно, значение числа М зависит от выбора .

Применим теорему Вейерштрасса, доказанную в [12], к случаи степенных рядов. Пусть имеются функции, регулярные внутри некоторого круга с центром b:

и положим, что ряд

равномерно сходится внутри этого круга. При этом, согласно теореме Вейерштрасса, его сумма будет также регулярной функцией внутри этого круга и будет, следовательно, представляться степенным рядом

Мы можем, согласно теореме Вейерштрасса, почленно дифференцировать этот ряд сколько угодно раз. Совершая дифференцирование и полагая затем получим следующие выражения для коэффициентов суммы ряда:

т. е. при сделанных предположениях эти бесконечные ряды складываются, как обычные полиномы: