186. Введение эллиптических функций.
Вместо переменных 
и v введем новые переменные 
по формулам
т. e. 
выражаются в виде эллиптических интегралов первого рода через 
, наоборот, последние являются эллиптическими функциями от первых. В силу (157) мы имеем, например,
и уравнение (156) мы можем переписать следующим образом:
Обратимся теперь к формулам (152) и покажем, что 
суть однозначные функции от новых переменных a 
Действительно, рассмотрим радикал
который входит в выражения (157). Введем вместо 
новую переменную t по формуле
где 
и q — некоторые постоянные. Мы получим
где 
корни полинома относительно 
так что имеем
Выберем прежде всего число 
так, чтобы сумма чисел 
равнялась нулю, т. е.
откуда
После этого предыдущие формулы определят нам числа 
с точностью до множителя q, который мы будем считать положительным и обозначим через 
. Таким образом, имеем
Отсюда вытекает, между прочим,
Подставляя 
будем иметь
Полином 
в новой переменной запишется в виде
Полагая
можно первую из формул переписать в виде
причем мы опускаем произвольное постоянное слагаемое справа, которое не играет существенной роли.
Полагая для простоты письма 
мы получаем в результате обращения интеграла 
так как радикальный полином в силу 
имеет как раз вид, указанный в [179].
Формула (161) дает нам
и совершенно аналогично получим
Подставляя эти выражения в формулы (152) и принимая во внимание (159), (162) и (163), будем иметь
Все разности, стоящие в числителях, как известно [173], суть квадраты однозначных функций 
, так что действительно из предыдущих формул х, у и z определяются как однозначные аналитические функции 
Уравнение Лапласа (158) в новых переменных, согласно (162) и (163), будет
