Раздел I. ВЕКТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ

§ 2. Векторное пространство. Кет-векторы

Согласно идеям предшествующего параграфа, каждому динамическому состоянию мы сопоставляем вектор, который, согласно Дираку, будем называть кет-вектором или просто кет и обозначать символом . Чтобы отличать кет-векторы один от другого, мы снабдим каждый символ либо некоторой буквой, либо одним или несколькими индексами, могущими принимать как дискретные, так и непрерывно изменяющиеся значения в зависимости от конкретной ситуации. Так, кет и представляется символом .

Кет-векторы образуют линейное векторное пространство: всякая линейная комбинация нескольких кет-векторов также является кет-вектором. Пусть, например, заданы два кет-вектора и два произвольных комплексных числа тогда линейная комбинация

есть вектор в пространстве кет-векторов.

Аналогично, если зависит от непрерывно изменяющегося индекса а -некоторая комплекснозначная функция 1, то интеграл

есть вектор в пространстве кет-векторов. Мы также будем говорить, что есть линейная комбинация (или линейная суперпозиция) кет-векторов

По определению кет-векторы из некоторой совокупности являются линейно независимыми, если ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных (эта линейная комбинация может быть вида (1) или (2) или смешанного вида).

Если векторное пространство содержит максимум линейно независимых векторов, то это конечномерное пространство и число его измерений по определению равно Если в таком векторном пространстве как-то выбрать линейно независимых векторов, то все остальные векторы пространства могут быть представлены как линейные комбинации данных векторов.

Если число линейно независимых векторов рассматриваемого линейного векторного пространства неограничено, то пространство является бесконечномерным. Таково пространство Гильберта, а также, как мы видели ранее, пространство волновых функций волновой механики. Однако всегда можно выбрать такую последовательность (бесконечную счетную или континуальную) линейно независимых векторов, что каждый вектор пространства может быть представлен как линейная комбинация (бесконечный ряд или интеграл) этих «базисных векторов».

Пусть задано пространство кет-векторов рассмотрим последовательность кет-векторов из этого пространства. Множество кет-векторов последовательности и всех их линейных комбинаций образуют линейное векторное пространство По определению есть пространство, натянутое на кет-векторы последовательности. Всякий кет-вектор пространства принадлежит и пространству говорят, что является подпространством Если пространство имеет конечное число измерений то число измерений пространства очевидно, конечно и не превосходит Если же пространство бесконечномерно, то никаких ограничений на число измерений пространства не существует.