§ 5. Средние значения функций от r и от p

Убедившись в согласованности определений плотностей вероятности Р и П, применим их теперь к вычислению средних значений функций от и от

Зная распределение результатов измерения положения в некоторый момент времени, можно определить среднее значение (математическое ожидание) для некоторой функции координат частицы. Физический смысл этого среднего значения совпадает с тем, который мы формулировали при определении это среднее значение измерений осуществленных на очень большом числе эквивалентных систем,

независимых друг от друга и представляемых одной и той же волновой функцией

Примем для этой величины обозначение . Очевидно, что

Аналогично для среднего значения некоторой функции импульса получим

Используя определения плотностей вероятности, принятые в § 2, получим выражения (при условии, что интегралы сходятся)

Так, среднее значение координаты частицы есть

а среднее значение составляющей импульса есть

Запишем выражение (16) в другой форме, применяя свойства преобразования Фурье, изложенные в Дополнении А. Если функция квадратично интегрируема, что мы предположим выполняющимся всегда, ее образ Фурье есть (теорема III § А. 16). Применяя к функциям Ф и свойство инвариантности скалярного произведения (теорема IV § А.16), получаем

Мы видим формальную аналогию между правыми частями уравнений (16) и (17): переход от первого ко второму осуществляется заменой интегрирования по интегрированием по подстановкой вместо ее обратного Фурье-образа , а вместо -комплексно сопряженной величины и, наконец, заменой величины оператором причем обозначает операцию взятия частной производной по х, применяемую к функции, стоящей справа от символа оператора.

Аналогично можно перейти от уравнения (15) к выражению

Эти результаты могут быть обобщены на функции более сложной формы. Так, из того факта, что (по предположению квадратично интегрируемая) есть образ Фурье функции

(повторное применение теоремы III § А. 16), выводим

Вообще, если есть полином или функция, представляемая абсолютно сходящимся рядом по степеням имеем

при условии выполнения требований сходимости, которые легко формулировать. При выполнении тех же условий для среднего значения находим

Получив достаточно результатов, чтобы начать общее обсуждение проблемы, которое является предметом этой главы, мы не будем более углублять здесь вопросы статистической интерпретации функции Ведь помимо статистики измерений положения и импульса и результатов, касающихся средних значений величин типа задание должно определить статистику измерения любой измеримой физической величины. Эти вопросы будут рассматриваться в гл. V. Здесь мы ограничимся некоторыми предварительными замечаниями.

Величины действительны; это следует из их определения. Поэтому правые части уравнений (15) и (17) также действительны. Иными словами, операторы являются эрмитовыми операторами (это следует из самого определения эрмитовости в уравнении Аналогично две другие составляющие вектора и две другие составляющие векторного оператора являются эрмитовыми операторами, а также и операторы вида если как функции своих аргументов действительны.

Рассмотрим выражения для средних значений, - полученных с помощью функции (уравнения (13), (20), (15) и (17)). Все они имеют одну форму. Величине, среднее значение которой мы вычисляем, соответствует некоторый линейный оператор

(эрмитов) А, и искомое среднее дается выражением вида

в котором, согласно общему правилу, оператор действует на функцию, стоящую справа от него. Этот оператор получается с помощью простого правила соответствия: если речь идет о функции координат частицы, то соответствующим оператором является сама функция; если же мы имеем функцию то оператор получается из этой функции подстановкой в вместо составляющих соответствующих составляющих векторного оператора Мы вновь встречаем здесь правило соответствия (11.17) между импульсом и оператором которое нам помогло установить уравнение Шредингера.

Каждое из средних значений может быть вычислено с помощью или с помощью Ф: выражения (21), (14), (18), (16), построенные с помощью функции Ф, соответственно эквивалентны выражениям (13), (20), (15), (17), в которые входит функция . Между первым и вторым рядом формул имеется и формальная аналогия. Во втором случае величине, среднее значение которой вычисляется, также соответствует линейный (эрмитов) оператор В, действующий в данном случае на функции от и искомое среднее дается выражением типа

Оператор В получается на основе правила соответствия, сходного с тем, которое служит для нахождения А: если речь идет о функции то оператором является сама функция, если же мы имеем функцию , то оператор получается подстановкой в вместо оператора .

Как волновые функции являются эквивалентными представлениями одного и того же динамического состояния частицы, так и операторы В и А являются эквивалентными представлениями одной и той же физической величины, причем вычисление рассмотренных здесь средних значений может производиться формально тождественно в том или другом из этих представлений. Это наводит на мысль, что квантовая теория может быть формулирована самым общим образом независимо от конкретного представления. Такая общая формулировка будет дана в гл. VII и VIII.