§ 13. Система многих частиц
Отделение движения центра масс может быть осуществлено и в системах с несколькими частицами всякий раз, когда потенциал взаимодействия V зависит только от взаимного положения частиц и не зависит от их абсолютного положения; иными словами, когда взаимодействие инвариантно относительно общей трансляции всех частиц.
Рассмотрим квантовую систему из 
частицы, гамильтониан которой обладает указанным свойством инвариантности. Мы всегда можем выполнить операцию редукции к центру масс на любой паре частиц, т. е. заменить их динамические переменные на переменные их центра масс и «относительной частицы». Этот процесс может быть продолжен; после первой редукции на двух частицах можно выполнить редукцию на центре масс этих двух частиц и некоторой третьей частицы: После этих двух последовательных замен динамических переменных три частицы заменяются «относительной частицей» частиц 1 и 2, «частицей», связанной с относительным движением центра масс
двух первых частиц 1 и 2 и третьей частицы и, наконец, центром масс трех частиц. В общем случае с помощью N замен переменных можно заменить 
частицу на N «относительных частиц» и центр масс совокупности из 
частицы. Эта редукция к центру масс совокупности может быть проведена многими способами: либо от частицы к частице 
возможных вариантов), либо разделяя систему из 
частицы на две группы из 
частиц, производя редукцию к центру масс в каждой из этих групп, а затем заменяя их центры масс и 
на «относительную частицу» 
и центр масс всей системы 
либо разделяя первоначальную систему из 
частицы на три группы и т. д.
Пусть 
— соответственно, положение, импульс и масса I-й частицы, 
— соответствующие величины, относящиеся к центру масс системы из 
частицы:
и пусть 
соответствующие величины, принадлежащие 
«относительной частице», появляющейся в процессе редукции к центру масс, описанном выше. Поскольку такая редукция есть последовательность N редукций к центру масс двух частиц, равенства (42) без труда обобщаются и дают:
С другой стороны и по той же причине, новые динамические переменные подчиняются соотношениям коммутации, характерным для динамических переменных квантовой системы из 
частицы. Наконец, ясно, что потенциал V зависит только от относительных координат 
и что полная кинетическая энергия является суммой кинетической энергии центра масс 
и кинетических энергий «относительных частиц» согласно (456), т. е.
Таким образом, движение центра масс отделяется и решение задачи 
тела сводится к задаче N тел.
Все эти результаты не зависят от конкретной процедуры редукции к центру масс. В частности, каким бы ни был выбор N «относительных частиц», произведение их приведенных масс 
сумма их кинетических энергий 
и сумма их моментов импульса 
остаются неизменными: уравнения (45а), (45б) и (45д) (задача 7).
