Раздел II. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА
§ 5. Собственные значения и собственные функции эрмитового оператора
Рассмотрим уравнение на собственные значения
В этом разделе мы будем рассматривать только собственные функции 
принадлежащие пространству Гильберта. Следовательно, всюду подразумевается только дискретный спектр собственных значений. Общее исследование, включающее и непрерывный спектр (если он существует), будет проведено в разделе III.
Поскольку А есть линейный оператор, то:
1. Если есть собственная функция, то 
, где с — произвольная постоянная, также есть собственная функция, принадлежащая тому же собственному значению. Чтобы фиксировать эту постоянную, обычно собственные функции нормируют на единицу:
После этого функция 
определена с точностью до произвольной постоянной фазы.
2. Если две линейно независимые функции 5) принадлежат одному и тому же собственному значению, то то же самое имеет место для любой линейной комбинации этих функций. Говорят, что в этом случае имеется вырождение. Максимальное число линейно независимых собственных функций, принадлежащих одному собственному значению, называется порядком (или кратностью) вырождения данного собственного значения (мы уже встречали примеры вырождения второго порядка в гл. III при изучении непрерывного спектра).
Из определения эрмитовости и свойства (8) получаем два фундаментальных результата.
1°. Все собственные значения вещественны. В самом деле, умножая скалярно обе стороны уравнения (9) слева на функцию 
обнаруживаем, что а равно среднему значению А в динамическом состоянии 
а эта величина, по определению эрмитовости, вещественна.
2°. Две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу (см. § III. 13). Пусть
Умножая первое уравнение слева на 
а второе уравнение — справа на 
и вычитая, получаем, учитывая свойство 
Следовательно, если 
то
Таким образом, две собственные функции 
принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Действительно, предположим, что можно найти два числа 
таких, что
Умножая каждый член левой части уравнения слева на 
получаем, учитывая свойство ортогональности,
и следовательно 
равно нулю. Аналогично показываем, что 
Если собственное значение а вырождено и кратность вырождения равна 
то каждая собственная функция, соответствующая этому собственному значению, может быть представлена в виде линейной комбинации 
линейно независимых собственных функций 
какого-либо частного выбора. Существует большой произвол в выборе этих базисных собственных функций. Однако всегда можно добиться, чтобы они были нормированы на единицу и были ортогональны друг другу. Для этого, исходя из произвольной совокупности линейно независимых функций 
можно, например, провести следующие операции (процесс ортогонализации Шмидта): определяем 
равенством
находим постоянную 
из условия 
так что
Определяем 
равенством
Левая часть не равна нулю, поскольку 
линейно независимы. Ясно, что 
Выбираем 
из условия
Далее, определяем 
равенством
Эта функция, очевидно, не равна нулю, ортогональна к 
и может быть нормирована соответствующим выбором 
. И так далее. Полученные таким образом 
функций 
удовлетворяют 
соотношениям
где 
— символ Кронекера:
Говорят, что эти функции образуют совокупность ортонормированных функций.
Изучение вырожденных собственных значений должно быть дополнено следующим утверждением, которое мы примем без доказательства. Если кратность вырождения бесконечна, т. е. если можно найти произвольно большое число линейно независимых собственных функций, принадлежащих этому собственному значению, то всегда можно построить последовательность (бесконечную счетную) 
ортонормированных собственных функций, такую, 
что всякая собственная функция, принадлежащая данному собственному значению, может быть разложена в ряд по этим функциям.
Можно также показать, что собственные значения образуют дискретную последовательность (конечную или бесконечную счетную) 
. Это свойство является характерным для собственных значений, собственные функции которых принадлежат пространству Гильберта.
