§ 14. Коммутирующие наблюдаемые и совместные переменные

Рассмотрим две наблюдаемые А и В. Предположим, что спектр их собственных значений полностью дискретный, хотя те свойства, которые мы изучим, справедливы и в общем случае. Пусть эти наблюдаемые имеют одну общую собственную функцию

Физический смысл этих двух уравнений следующий. Если физическая система в данный момент времени находится в состоянии то точное измерение величин с достоверностью приведет к значениям а и соответственно. Необходимым условием того, что эти уравнения удовлетворяются одновременно, является равенство

т. е. коммутатор А и В имеет собственной функцией принадлежащую собственному значению 0.

В качестве примера величин, для которых это условие не выполняется, могут служить наблюдаемые так как их коммутатор является отличной от нуля постоянной. Именно (см. уравнение (II. 10)):

действительно, мы хорошо знаем, что эти две величины никогда не могут быть одновременно точно измерены.

С другой стороны, уравнение (52) автоматически выполняется, когда наблюдаемые А и В коммутируют. В этом случае мы имеем важную теорему:

Если две наблюдаемые коммутируют, то они обладают общей полной ортонормированной системой собственных функций, и наоборот.

Физически это означает, что динамические переменные, представляемые этими двумя наблюдаемыми, могут быть одновременно точно измерены: это совместные переменные. В частности, можно одновременно произвести идеальное измерение переменных и и в этом случае волновая функция после измерения будет общей собственной функцией А и В.

Доказательство прямой теоремы таково. Предполагаем, что наблюдаемые А и В коммутируют

Пусть есть собственная функция А, принадлежащая собственному значению а. Функция может быть разложена по системе ортонормированных собственных функций наблюдаемой В, т. е. может быть представлена в форме

где — собственная функция В, принадлежащая собственному значению . Можно всегда сделать так, чтобы все функции, входящие в эту сумму, принадлежали различным собственным значениям (см. уравнение (20)). Покажем, что

Поскольку А и Б коммутируют

Иными словами, функции являются собственными функциями В, и ввиду того что собственные значения различны, эти функции линейно независимы. Однако имеем

Это возможно только в том случае, если каждая из функций равна нулю. Следовательно, функции одновременно являются собственными функциями А и В.

Рассмотрим теперь полную ортонормированную систему собственных функций А

По доказанному эти функции можно представить в форме

где являются общими собственными функциями А и В. Совокупность функций соответствующих одной собственных значений может не быть линейно независимой, однако всегда можно тем или иным способом (например, с помощью процесса ортогонализации Шмидта) выбрать последовательность ортонормированных функций соответствующих той же паре собственных значений, причем функции будут линейными комбинациями этих новых функций:

Множество всех функций х образует ортонормированную систему собственных функций, общих для А и В. При этом полученная система полная, так как всякая волновая функция может быть разложена в ряд по функциям Чтобы построить такое разложение следует разложить в ряд по функциям полной системы затем вместо функций подставить их выражения через полученные с помощью уравнений (54) и (55), что и требовалось доказать.

Обратно, если А и В обладают общей полной ортонормированной системой собственных функций то

следовательно,

Действие коммутатора на любые функции из системы дает нуль. Но поскольку, по предположению, всякая волновая; функция разлагается в ряд по функциям имеем при любой Следовательно,

С помощью коммутирующих наблюдаемых А, В можно образовать новые наблюдаемые виды где - произвольно

выбранная функция. По определению действие наблюдаемой на собственную функцию общую для операторов А и В, дает

Действие новой наблюдаемой на произвольную функцию получается путем разложения Ч в ряд по и применения оператора к каждому члену разложения, если, конечно, получающийся ряд сходится; в противном случае функция не существует. Из самого определения очевидно, что эта наблюдаемая обладает общей с А и В полной ортонормированной системой собственных функций, а именно системой . Отсюда следует, что коммутирует с А и В.

Все эти результаты очевидно обобщаются на случай произвольного числа попарно коммутирующих наблюдаемых. Если наблюдаемых все попарно коммутируют, то они обладают (по крайней мере) одной общей полной ортонормированной системой собственных функций, и наоборот. Кроме того, любая (вещественная) функция этих наблюдаемых есть наблюдаемая, которая коммутирует с каждой из них и обладает общей с ними системой собственных функций.