§ 11. Состояния непрерывного спектра: отражение и прохождение волн

Собственные функции непрерывной и двукратно вырожденной части спектра позволяют представить движение частично проходящих и частично отраженных волновых пакетов в поле потенциала . Чтобы избежать трудностей, предположим, что стремится к своим асимптотическим значениям

и быстрее, чем так чтобы можно было использовать асимптотическую форму (29) вещественных собственных функций.

Интересующие нас волновые пакеты могут быть построены с помощью собственных функций двух типов. Функции первого типа суть функции, поведение которых в двух асимптотических областях выражается соотношениями

Волновой пакет вида (9) представляет падающую волну движущуюся из в положительном направлении, которая затем попадает в зону действия потенциала и разделяется на отраженную волну движущуюся в противоположном направлении и прошедшую волну распространяющуюся в направлении (рис. 16, а).

Функции второго типа асимптотически представляются формулами

что позволяет описать аналогичный волновой пакет, распространяющийся в противоположном направлении (рис. 16, б).

Рис. 16. Отражение и прохождение волны через потенциал: а) решение типа и: волна, приходящая со стороны отрицательных решение типа волна, приходящая со стороны положительных X.

Функции и комплексно сопряженные функции являются решениями одного уравнения Шредингера. Рассмотрим вронскиан, образованный двумя из этих решений, он не зависит от х (следствие 2). Записывая условие его тождественности в двух асимптотических областях, можно получить соотношение между коэффициентами или комплексно сопряженными величинами. Существует столько соотношений этого вида, сколько можно построить различных пар из функций и, т. е. всего шесть соотношений, не зависящих от конкретной формы потенциала

Получаем:

а также еще два соотношения, получаемые из двух последних переходом к комплексно сопряженным величинам.

Уравнения (37) и (38) называются соотношениями сохранения потока; мы их уже проверили ранее в конкретных случаях (уравнения (13) и (24)). Происхождение названия следует из следующего истолкования волновой функции несвязанного состояния в асимптотической области (обоснованность этого истолкования мы подробно рассмотрим в гл. X при изучении проблем рассеяния). Пусть есть форма волновой функции в одной из асимптотических областей, скажем при . Если с помощью этой волновой функции образовать волновой пакет вида (9), то он будет состоять из двух членов: один, образованный из имеет относительную интенсивность и распространяется в направлении возрастающих х со скоростью другой, образованный из имеет интенсивность и распространяется с той же скоростью в противоположном направлении. Полный поток частиц в некоторой точке в направлении возрастающих х есть разность между потоком частиц, движущихся в положительном направлении, и потоком частиц, движущихся в отрицательном направлении. С точностью до постоянного множителя он равен вронскиану

Тот факт, что на концах интервала вронскиан имеет одинаковые значения, означает, что число частиц, входящих в зону действия потенциала в единицу времени, равно числу частиц, выходящих из этой зоны в тот же промежуток времени.

Согласно этой интерпретации каждое из уравнений (37) и (38) может быть записано в виде:

Следуя той же интерпретации, можно определить коэффициент прохождения Т отношением

В частности, имеем

Учитывая равенство модулей обеих частей уравнения (39), получаем равенство

При заданной энергии коэффициент прохождения волны не зависит от направления распространения. Это — свойство взаимности коэффициента прохождения, отмеченное уже на стр. 92 и 100. Можно сказать, что проницаемость барьера в обоих направлениях одинакова.

Равенство модулей обеих частей уравнения (40) вместе с соотношениями сохранения (37) и (38) вновь дает соотношение взаимности (41).

Из уравнений (39) и (40) можно получить также соотношения между фазами комплексных амплитуд отражения и прохождения:

Эти соотношения могут представить интерес, если связывать фазы с некоторым «запаздыванием» в распространении волновых пакетов. Мы несколько раз отмечали, что величина (фаза) , т. е. умноженная на производная фазы комплексных амплитуд отражения или прохождения по энергии (величина с размерностью времени), может быть интерпретирована как «запаздывание» волны в явлениях отражения и прохождения. Это истолкование распространяется и на общий случай.