§ 5. Кулоновское рассеяние. Формула Резерфорда

В качестве приложения рассмотрим кратко классическую теорию кулоновского рассеяния и условия ее применимости.

Это задача о рассеянии частиц с массой кулоновским потенциалом , где — расстояние частицы от силового центра С; этой частицей может быть, например, протон с зарядом который движется в кулоновском поле ядра с зарядом (отталкивающий потенциал). Теория применима также и в том случае, когда заряды имеют противоположные знаки (притягивающий потенциал). Поэтому мы будем рассматривать постоянную как алгебраическую величину, обладающую некоторым знаком.

Пусть Е — энергия частицы:

задается также направление движения падающей частицы и прицельный параметр (прицельное расстояние) что фиксирует начальные условия движения. Положим

Известно, что траектория является ветвью гиперболы (рис. 24) с фокусом С, полуосью и фокальным расстоянием Угол отклонения дается соотношением

(знак отклонения зависит от знака потенциала, но абсолютное значение угла зависит только от абсолютного значения потен циала).

На практике важное значение имеет величина называемая дифференциальным эффективным сечением. Предположим, что силовой центр бомбардируется пучком частиц одной энергии Е и одного направления движения; мы желаем знать число частиц, рассеиваемых в некотором телесном угле . Тогда по определению, есть число частиц, рассеиваемых в этом направлении на единицу телесного угла в единицу времени, когда распределение частиц в первоначальном пучке равномерно, а поток постоянен во времени и равен единице, т. е. если через всякую поверхность, далекую от С и перпендикулярную направлению движения, проходит одна частица в единицу времени и на единицу поверхности.

Рис. 24. Траектория (жирная линия) частицы в кулоновском поле: а) отталкивающий потенциал; б) притягивающий потенциал.

Выберем первоначальное направление пучка в качестве полярной оси и обозначим через 0 и сферические углы направления движения рассеянной частицы; при этом

0 есть введенный выше угол отклонения, связанный с прицельным параметром соотношением (28). Элемент телесного угла в направлении равен Число частиц, рассеиваемых в единицу времени в этом телесном угле, равно числу падающих частиц, пересекающих в единицу времени поверхность т. е. поскольку первоначальный падающий поток равен 1

Заменяя в этом уравнении величины и их выражениями, вычисленными с помощью соотношения (28), получаем формулу Резерфорда

Нам остается обосновать применение классического приближения. Заметим, что характерной длиной задачи здесь является Кроме того, длина волны частицы

по порядку величины равна своему первоначальному значению Отношение двух величин имеет порядок

Можно ожидать, что классическое приближение справедливо, когда

Выясним, в какой мере выполняется условие (26). Имеем

тем больше, чем меньше Поскольку классическая траектория тем ближе подходит к рассеивающему центру, чем больше угол отклонения, мы делаем вывод, что классическое приближение оправдано для малых углов отклонения (т. е. для больших прицельных параметров), но отказывается служить при больших углах отклонения. Чтобы получить количественную оценку, рассмотрим выражение для максимума (т. е. его значения на вершине гиперболической траектории) как функции ; вычисление дает

(здесь ). Когда увеличивается от 0 до , функция увеличивается от 0 до . Пусть угол определяется равенством

Классическое приближение справедливо при и неприменимо при Заметим, что тем ближе к , чем больше у, в согласии с грубой оценкой, сделанной выше.