ЧАСТЬ II. ПРОСТЫЕ СИСТЕМЫ

ГЛАВА IX. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

§ 1. Введение

Исследование физической системы по существу сводится к решению соответствующего стационарного уравнения Шредингера. В частности, с этим уравнением мы сталкиваемся при решении двух наиболее часто встречающихся задач квантовой физики, а именно:

а) определения уровней энергии связанных состояний, т. е. собственных значений дискретного спектра гамильтониана;

б) вычисления эффективных поперечных сечений рассеяния— как будет показано ниже (гл. X), они находятся при исследовании асимптотической формы собственных функций, принадлежащих непрерывному спектру.

Уравнение Шредингера волновой механики является уравнением в частных производных второго порядка. Для одномерной системы оно сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению; исследование проблемы собственных значений в этом простом случае уже было проведено в гл. III. Задача становится гораздо более трудной, если физическая система обладает многими степенями свободы. Однако свойства симметрии, которыми может обладать гамильтониан, существенно облегчает решение уравнения. Может оказаться, что удачная замена переменных приведет к уравнению в частных производных с разделяющимися переменными; задача на собственные значения в этом случае распадается на несколько задач с меньшим числом переменных, т. е. более простых.

Именно это имеет место при решении задачи о частице, движущейся в центрально-симметричном потенциальном поле, когда потенциал зависит только от расстояния до центра но не от направления радиуса-вектора . Если гамильтониан обладает сферической симметрией, то переменные полностью разделяются в сферических координатах; после отделения угловых переменных уравнение Шредингера сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно радиальной переменной, которое всегда может быть проинтегрировано, хотя бы численными методами.

Основная часть этой главы посвящена решению уравнения Шредингера для частицы в центрально-симметричном потенциальном поле. Общее обсуждение задачи проводится в разделе I. В разделе II рассматривается задача о свободной частице и частице в центрально-симметричной потенциальной яме.

В разделе III исследуется еще один простой пример разделения переменных при описании движения центра масс системы частиц; как и в классической механике, это движение отделяется от относительного движения, если взаимодействие между частицами зависит только от относительного расстояния между ними.