Раздел III. СТАТИСТИКА ИЗМЕРЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

§ 8. Трудности описания непрерывного спектра.

Введение дельта-функции Дирака

Все полученные нами результаты теряют свою силу, если система функций не является полной. Мы видели, что это далеко не исключительный случай. Однако обсуждение в § 4 указывает на возможный путь расширения области применимости развитой теории. На этом пути мы по-прежнему будем исходить из уравнения на собственные значения (9), не накладывая однако на решения строгого требования принадлежности к пространству Гильберта. Но для этого нам потребуется распространить на решения, не имеющие конечной нормы, понятия ортогональности и нормировки.

Рассмотрим два примера, относящиеся к одномерным системам: определение статистических распределений по положению и по импульсу. В этом случае статистические распределения известны, что поможет провести формальное расширение результатов предыдущего параграфа. Координата сможет принимать все возможные значения в интервале причем вероятность найти в интервале равна

где есть волновая функция (по предположению нормированная на единицу), представляющая динамическое состояние физической системы. С другой стороны, импульс представляемый оператором может принимать все возможные значения в интервале и вероятность найти в интервале равна

где - подходящим образом нормированный образ Фурье волновой функции

В обоих случаях спектр возможных значений рассматриваемых величин является непрерывным. В этом и состоит основное отличие от ситуации, изученной выше, когда мы имели дискретный спектр и возможность представить всякую волновую функцию в виде ряда (см. уравнения (14) или (20)), каждый член которого соответствует одному из возможных значений из этого спектра. Естественным обобщением на случай непрерывного спектра является представление волновой функции не в форме ряда, а в форме интеграла.

С формальной точки зрения в случае полностью дискретного спектра ход рассуждений был таков.

Эрмитов оператор А обладает рядом дискретных собственных значений, которые мы ради простоты будем считать невырожденными. Каждому собственному значению соответствует собственная функция (определяемая с точностью до фазы), причем

Поскольку ортонормированная система полна, всякая функция (по предположению нормированная на единицу) может быть представлена рядом

где, вследствие условий ортонормированности (25),

Используя те же соотношения, для характеристической функции находим

откуда делается вывод, что вероятность того, что А принимает значение равна квадрату модуля коэффициента при в раз ложении (26), т. е.

Действуя по аналогии, обозначим с помощью собственную функцию оператора принадлежащую собственному значению

Продолжая формальную аналогию, представим волновую функцию в виде интеграла по формуле

Здесь должно быть вероятностью того, что находится в интервале . Поэтому необходимо, чтобы т. е. чтобы было равным с точностью до фазового множителя. Поскольку собственная функция сама по себе определяется только с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, можно всегда выбрать его так, чтобы аналог уравнения (26) принял

форму

Коэффициент принадлежащий собственному значению по формуле, обобщающей соотношение (27), должен быть равен

что при подстановке, вместо интегрального представления (26) дает

Здесь мы используем сокращенное обозначение для функции, являющейся собственной функцией, принадлежащей собственному значению . Соотношение (29) должно выполняться для любой волновой функции в пространстве импульсов (единственное ограничение на эту функцию состоит в она должна быть квадратично интегрируемой); это свойство обобщает соотношение ортонормированности (25).

Не существует регулярных функций от , которые могли бы удовлетворять соотношению (29). Однако, если не очень заботиться о математической строгости, можно, следуя Дираку, ввести «сингулярную функцию» определяемую следующим свойством:

для всякой функции непрерывной в точке Уравнение (29) удовлетворяется, если

что и является обобщением соотношений ортонормированиости (25) на случай непрерывного спектра.

Можно представлять себе «функцию Дирака» наглядно как предел функции, равной нулю всюду, кроме маленького интервала около точки где она имеет очень узкий и очень высокий максимум, причем такой, что интеграл от функции по всей числовой оси равен 1. В пределе, когда ширина максимума стремится к нулю, получим

Конечно, не является функцией в обычном смысле, так как интеграл, если он существует, от функции, равной нулю всюду, кроме одной точки, должен бынь равен нулю. Мы не будем здесь обсуждать проблему математического обоснования использования -функции Дирака. Оно потребовало бы введения совершенно нового понятия обобщенных функций, причем обычные функции (точнее, локально интегрируемые функции) должны рассматриваться как частный случай обобщенных. В математике говорят не о функции а об обобщенной функции определяемой как функционал от функции равный . Другими словами, определение (30) должно быть заменено соотношением

В виду того, что понятие обобщенной функции является новым и возможно незнакомым читателю, мы будем им пользоваться как можно реже и применять (некорректное) обозначение которое, впрочем, имеет неоспоримые формальные преимущества. Основные правила вычислений с -функцией Дирака приведены в Дополнении А, где можно найти также общие сведения из теории обобщенных функций.

Вернемся к проблеме измерения Собственной функцией уравнения (24) является функция Соотношение ортонормированиости (25) выполняется при таким образом, имеем

Далее, используя уравнение находим

Собственные функции образуют полную систему, так как всякая квадратично интегрируемая функция может быть представлена в форме

т. е. в виде интеграла Фурье. Коэффициент этого «разложения по собственным функциям» равен скалярному произведению Действительно,

Итак, используя обобщенные соотношения ортонормированности, мы получили известное свойство взаимности преобразования Фурье.

Продолжая аналогию со случаем дискретного спектра, введем оператор Имеем

следовательно,

откуда получаем характеристическую функцию

Соответствующее статистическое распределение (см. сноску ) и есть искомое распределение (23).

Обсуждение измерения координаты может быть проведено по той же схеме. Собственной функцией, принадлежащей собственному значению уравнения на собственные значения оператора с правильной нормировкой, является Действительно по уравнению (А. 19)

Совокупность функций , где может принимать все возможные значения от до образует ортонормированную систему, так как (см. уравнение

и эта система является полной, ибо всякая волновая функция может быть представлена в интегральной форме

Легко проверить, что коэффициент равен скалярному произведению Аналогично находим, что квадрат модуля этого коэффициента, т. е. действительно равен плотности вероятности того, что в согласии с уравнением (22).