Главная > Квантовая механика, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Раздел III. СТАТИСТИКА ИЗМЕРЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

§ 8. Трудности описания непрерывного спектра.

Введение дельта-функции Дирака

Все полученные нами результаты теряют свою силу, если система функций не является полной. Мы видели, что это далеко не исключительный случай. Однако обсуждение в § 4 указывает на возможный путь расширения области применимости развитой теории. На этом пути мы по-прежнему будем исходить из уравнения на собственные значения (9), не накладывая однако на решения строгого требования принадлежности к пространству Гильберта. Но для этого нам потребуется распространить на решения, не имеющие конечной нормы, понятия ортогональности и нормировки.

Рассмотрим два примера, относящиеся к одномерным системам: определение статистических распределений по положению и по импульсу. В этом случае статистические распределения известны, что поможет провести формальное расширение результатов предыдущего параграфа. Координата сможет принимать все возможные значения в интервале причем вероятность найти в интервале равна

где есть волновая функция (по предположению нормированная на единицу), представляющая динамическое состояние физической системы. С другой стороны, импульс представляемый оператором может принимать все возможные значения в интервале и вероятность найти в интервале равна

где - подходящим образом нормированный образ Фурье волновой функции

В обоих случаях спектр возможных значений рассматриваемых величин является непрерывным. В этом и состоит основное отличие от ситуации, изученной выше, когда мы имели дискретный спектр и возможность представить всякую волновую функцию в виде ряда (см. уравнения (14) или (20)), каждый член которого соответствует одному из возможных значений из этого спектра. Естественным обобщением на случай непрерывного спектра является представление волновой функции не в форме ряда, а в форме интеграла.

С формальной точки зрения в случае полностью дискретного спектра ход рассуждений был таков.

Эрмитов оператор А обладает рядом дискретных собственных значений, которые мы ради простоты будем считать невырожденными. Каждому собственному значению соответствует собственная функция (определяемая с точностью до фазы), причем

Поскольку ортонормированная система полна, всякая функция (по предположению нормированная на единицу) может быть представлена рядом

где, вследствие условий ортонормированности (25),

Используя те же соотношения, для характеристической функции находим

откуда делается вывод, что вероятность того, что А принимает значение равна квадрату модуля коэффициента при в раз ложении (26), т. е.

Действуя по аналогии, обозначим с помощью собственную функцию оператора принадлежащую собственному значению

Продолжая формальную аналогию, представим волновую функцию в виде интеграла по формуле

Здесь должно быть вероятностью того, что находится в интервале . Поэтому необходимо, чтобы т. е. чтобы было равным с точностью до фазового множителя. Поскольку собственная функция сама по себе определяется только с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, можно всегда выбрать его так, чтобы аналог уравнения (26) принял

форму

Коэффициент принадлежащий собственному значению по формуле, обобщающей соотношение (27), должен быть равен

что при подстановке, вместо интегрального представления (26) дает

Здесь мы используем сокращенное обозначение для функции, являющейся собственной функцией, принадлежащей собственному значению . Соотношение (29) должно выполняться для любой волновой функции в пространстве импульсов (единственное ограничение на эту функцию состоит в она должна быть квадратично интегрируемой); это свойство обобщает соотношение ортонормированности (25).

Не существует регулярных функций от , которые могли бы удовлетворять соотношению (29). Однако, если не очень заботиться о математической строгости, можно, следуя Дираку, ввести «сингулярную функцию» определяемую следующим свойством:

для всякой функции непрерывной в точке Уравнение (29) удовлетворяется, если

что и является обобщением соотношений ортонормированиости (25) на случай непрерывного спектра.

Можно представлять себе «функцию Дирака» наглядно как предел функции, равной нулю всюду, кроме маленького интервала около точки где она имеет очень узкий и очень высокий максимум, причем такой, что интеграл от функции по всей числовой оси равен 1. В пределе, когда ширина максимума стремится к нулю, получим

Конечно, не является функцией в обычном смысле, так как интеграл, если он существует, от функции, равной нулю всюду, кроме одной точки, должен бынь равен нулю. Мы не будем здесь обсуждать проблему математического обоснования использования -функции Дирака. Оно потребовало бы введения совершенно нового понятия обобщенных функций, причем обычные функции (точнее, локально интегрируемые функции) должны рассматриваться как частный случай обобщенных. В математике говорят не о функции а об обобщенной функции определяемой как функционал от функции равный . Другими словами, определение (30) должно быть заменено соотношением

В виду того, что понятие обобщенной функции является новым и возможно незнакомым читателю, мы будем им пользоваться как можно реже и применять (некорректное) обозначение которое, впрочем, имеет неоспоримые формальные преимущества. Основные правила вычислений с -функцией Дирака приведены в Дополнении А, где можно найти также общие сведения из теории обобщенных функций.

Вернемся к проблеме измерения Собственной функцией уравнения (24) является функция Соотношение ортонормированиости (25) выполняется при таким образом, имеем

Далее, используя уравнение находим

Собственные функции образуют полную систему, так как всякая квадратично интегрируемая функция может быть представлена в форме

т. е. в виде интеграла Фурье. Коэффициент этого «разложения по собственным функциям» равен скалярному произведению Действительно,

Итак, используя обобщенные соотношения ортонормированности, мы получили известное свойство взаимности преобразования Фурье.

Продолжая аналогию со случаем дискретного спектра, введем оператор Имеем

следовательно,

откуда получаем характеристическую функцию

Соответствующее статистическое распределение (см. сноску ) и есть искомое распределение (23).

Обсуждение измерения координаты может быть проведено по той же схеме. Собственной функцией, принадлежащей собственному значению уравнения на собственные значения оператора с правильной нормировкой, является Действительно по уравнению (А. 19)

Совокупность функций , где может принимать все возможные значения от до образует ортонормированную систему, так как (см. уравнение

и эта система является полной, ибо всякая волновая функция может быть представлена в интегральной форме

Легко проверить, что коэффициент равен скалярному произведению Аналогично находим, что квадрат модуля этого коэффициента, т. е. действительно равен плотности вероятности того, что в согласии с уравнением (22).

1
Оглавление
email@scask.ru