§ 6. Конечная потенциальная яма. Резонансы

Результаты, полученные нами на примерах скачка потенциала и бесконечно глубокой потенциальной ямы, помогут нам рассмотреть более сложные случаи. В качестве нового примера возьмем потенциал, изображенный на рис. 10. Здесь функция принимает вид:

причем

Задача о собственных значениях представляется различной в зависимости от величины в по сравнению с постоянными

а) Дискретный спектр и связанные состояния.

Общее решение ведет себя экспоненциально во внешних областях I и III, а во внутренней области характер его поведения осцилляторный. Чтобы быть приемлемым в качестве собственной функции, решение должно экспоненциально затухать в обеих внешних областях. Существует одно и только одно решение, экспоненциально затухающее в области а также одно и только одно решение, затухающее в области эти два решения согласованно сшиваются только при некоторых определенных дискретных значениях е.

Мы делаем заключение, что энергетический спектр по необходимости дискретен и не вырожден.

Функция по предположению вещественная (ср. стр. 85), в каждой из трех областей имеет вид:

Если фаза известна, то два условия непрерывности функции определяют постоянные (с точностью до постоянного множителя).

Рис. 10. Конечная прямоугольная потенциальная яма.

Что же касается то она должна удовлетворять одновременно двум условиям непрерывности логарифмических производных:

иными словами

( определяется с точностью до слагаемого ; мы требуем, чтобы находилось в интервале ). Это возможно в том и только в том случае, когда правые части двух последних уравнений равны. Указанное равенство может быть реализовано только при некоторых дискретных значениях величины а именно при тех значениях, которые удовлетворяют уравнению

Введем следующие обозначения:

и новую переменную

Уравнение может быть записано в виде условия на

Последнее уравнение графически решено на рис. 11. Когда растет от до растет от 0 до 1, а правая часть уравнения растет от 0 до , следуя кривой С (которая зависит только от параметра . В то же время

левая часть уравнения уменьшается от до следуя отрезку прямой Чтобы пересекались, необходимо и достаточно, чтобы целое число было достаточно малым:

Если собственных значений нет; если то существует одно собственное значение если имеется два собственных значения Легко видеть, что собственные значения располагаются в порядке возрастающих . Они образуют дискретную и конечную последовательность — от основного собственного значения до максимального собственного значения, соответствующего наибольшему целому числу, не превосходящему

Рис. 11. Графическое решение задачи о дискретных собственных значениях: Собственные значения суть точки пересечения кривой заданной уравнением и каждой из прямых (принято ).

Квантовое число имеет вполне определенный математический смысл. Рассмотрение уравнений (19) показывает, что функция обращается в нуль раз, когда х пробегает интервал Но, следуя уравнению (17), нули этой функции совпадают с нулями Следовательно, число узлов собственной функции, соответствующей -ому собственному значению ел, есть

В заключение можно провести сравнение с классической ситуацией, как это было сделано в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы. Теперь помимо квантования энергии следует отметить дополнительное отличие; поскольку волновая функция сохраняет отличные от нуля значения в областях I и III, существует отличная от нуля вероятность найти частицу и в этих областях, куда доступ классической частице полностью запрещен.

б) Спектр непрерывный невырожденный. Отражение волны.

Мы находимся в ситуации, аналогичной случаю а) в задаче о скачке потенциала. Каждому значению соответствует

одно и только одно всюду ограниченное решение, именно то, которое экспоненциально затухает в области в интервале спектр собственных значений непрерывный и невырожденный.

Мы ищем решение в виде

Как и в предшествующих задачах, условия непрерывности логарифмической производной определяют фазы Находим

в то же время непрерывность самой функции позволяет определить А и В.

Далее мы будем предполагать, что откуда из и, следовательно, Все происходит так, как если бы область III характеризовалась бесконечно отталкивающим потенциалом, так что Интересующими нас величинами являются

Условимся, что и положим

Тогда после элементарного расчета

При возрастании энергии фаза более или менее регулярным образом растет, в то время как величина измеряющая относительную интенсивность волны в области II, осциллирует между значениями и 1. Осцилляции тем более значительны, чем больше и чем меньше Поэтому предположим в дальнейшем, что

В этом случае как функция (т. е. энергии) обнаруживает серию острых максимумов ширины отстоящих друг друга на На рис. 12 показано это замечательное поведение а также в условиях нашего приближения.

Мы сталкиваемся с явлением типично волнового характера, с явлением резонанса. Для некоторых ограниченных областей изменения энергии (ширины ) интенсивность волны во внутренней области порядка 1: эти резонансные энергии соответствуют условию т. е. область II содержит «полуволн».

Рис. 12. Резонансы отражений. Изменение (см. уравнение (21)) в зависимости от энергии. Кривые соответствуют По оси абсцисс отложена переменная

Вне этих резонансных областей интенсивность очень мала.

Как и в случае задачи со скачком потенциала, мы можем сравнить движение волнового пакета типа (9) с движением классической частицы в том же потенциале. Приходя из с постоянной скоростью классическая частица испытывает резкое ускорение при пробегает область II со скоростью отражается в точке движется в противоположном направлении со скоростью в области II, затем со скоростью в области I. Время,

которое классическая частица проводит в области 11, равно . Центр волнового пакета движется аналогичным образом, по крайней мере в области очень больших х, где пакет не слишком сильно деформирован, так что понятие его центра сохраняет смысл. Все происходит так, как если бы он осуществил то же самое движение за исключением того, что «время, проведенное в области II» равно не Мы не будем вдаваться в детали этого исследования, вполне аналогичного проведенному на стр. 89. Поведение различных величин, упоминавшихся выше, сведено в следующую таблицу:

Между резонансами остается очень малой величиной, время прохождения области II мало по сравнению с волновой пакет практически не проникает в область II, волна почти полностью отражается от точки Эта ситуация аналогична оптической, где резкое и значительное изменение показателя почти всегда вызывает полное отражение. Наоборот, в резонансе волна полностью проникает в область II и остается там относительно долгий промежуток времени, значительно больший . Согласно условию (12) полученная картина справедлива только для достаточно пространственно протяженных пакетов, больших чем размеры области II в резонансе), и, следовательно, передний фронт волнового пакета достигает точки отражения значительно раньше того, как волна завершит прохождение точки скачка потенциала Этот эффект имеет чисто волновую природу — происходит интерференция между падающей и отраженной волнами в области II.

в) . Спектр непрерывный и вырожденный. Отражение и прохождение волн.

Эта ситуация аналогична случаю б) в задаче со скачком потенциала. Всякому значению сответствуют две линейно независимые собственные функции: в интервале спектр собственных значений непрерывен и все собственные значения дважды вырождены.

Как и в задаче со скачком потенциала построим собственную функцию в виде

Условия непрерывности в точках а и позволяют определить Не входя в детали вычислений, приведем результаты для величин Используем следующие обозначения:

Получаем

Эти выражения позволяют сравнить движение волнового пакета, образованного из волн типа (22) с близкими энергиями, с движением классической частицы той же энергии в том же потенциале.

Начальный волновой пакет (образованный в области из волн перемещается в области 1 с постоянной скоростью и встречается с областью после столкновения он разделяется на пакет отраженных волн (образованный волнами в области перемещающийся со скоростью и пакет проходящих волн (образованный волнами в области III), перемещающийся со скоростью из к Таким образом, в отличие от классической частицы волновой пакет всегда только частично проходит в область III, и можно определить коэффициент прохождения

как мы это уже делали в случае скачка потенциала.

Здесь мы тоже замечаем, что при равной энергии коэффициент прохождения не зависит от направления движения входят симметрично в выражение для Т). Можно проверить и равенство

Относительная величина отраженной и проходящей волн изменяется с Энергией и можно обнаружить существование явлений резонанса того же типа, что и в случае б). Они особенно заметны когда . В этом случае видно при исследовании уравнения (23), что коэффициент прохождения, рассматриваемый как функция (т. е. как функция энергии), остается очень малым (порядка почти всюду, но обнаруживает серию резких максимумов, равных . Ширина этих максимумов равна примерно Положения максимумов соответствуют энергиям, для которых в области II укладывается целое число «полуволн», а именно (расстояние между максимумами около

Можно продолжить это исследование, рассматривая фазы амплитуд и определить «время прохождения» проходящей волны или «время отражения» отраженной волны и сравнить эти величины со временем пересечения области II классической частицей. Качественно получается следующая картина: в резонансе волна остается концентрированной в области II в течение промежутка времени, значительно раз) превосходящего классическое время, прежде чем разделиться на проходящую и отраженную волны; вне резонанса волна практически не проникает в область II, она почти полностью отражается на границе областей I к II причем почти мгновенно (см. задачу 1).