§ 9. Асимптотическое поведение решений
Асимптотическая форма общего решения уравнения (5) на краях интервала 
существенно зависит от знака разности 
при х, стремящемся к одному из пределов 
Рассмотрим асимптотическую форму решения при 
Аналогичные результаты получаются и при 
Допустим, что 
не меняет знака, когда х превосходит некоторое значение 
При этом возможны два случая.
1) 
, когда 
Предположим (так обычно бывает на практике), что при 
функция 
монотонно стремится к конечному пределу 
Положим 
Мы покажем, что при 
— вещественные решения уравнения (5) остаются ограниченными и бесконечно осциллируют между двумя противоположными значениями;
— если, кроме того, 
стремится к 
быстрее, чем 
то
где 
суть две вещественные постоянные.
Для доказательства заметим, что уравнение (5) «асимптотически стремится» к уравнению 
общее решение которого есть 
, т. е. зависит от двух произвольных постоянных 
Чтобы найти
асимптотическую форму у, введем (метод вариации постоянных) функции 
определенные равенствами
Уравнение (5) эквивалентно двум дифференциальным уравнениям первого порядка:
Отсюда интегрированием получаем
Интеграл в правой части (31) сходится, поэтому при 
функция 
стремится к конечному пределу 
Далее, поскольку 
фуикция 
в выражении (30) осциллирует с периодом, который асимптотически стремится к 
Это доказывает первый из формулированных выше результатов. Если, кроме того, 
стремится к 
быстрее, чем 
то сходится и интеграл в правой части уравнения (32); в этом случае обе функции 
стремятся к конечным пределам 
соответственно, что доказывает справедливость асимптотической формы (29).
2) 
когда 
. Результаты, которые мы получим, не зависят от поведения 
на бесконечности. Предположим только, что
Этот случай соответствует экспоненциальным решениям в задачах с прямоугольным потенциалом.
Мы покажем, что при 
— существует одно частное решение (определенное с точностью до постоянного множителя) уравнения (5), стремящееся к 0 не медленнее, чем 
— все другие решения стремятся к 
не медленнее, чем 
Поскольку решения определены с точностью до постоянной, фиксируем эту постоянную условием 
и рассмотрим поведение решений, удовлетворяющих этому условию нормировки. Некоторые из таких решений представлены на рис. 15.
Обозначим через 
частные решения, определенные условиями
тогда искомые решения можно записать в виде
Параметр 
может принимать все значения между 
Решения 
остаются положительными во всем интервале 
и стремятся к бесконечности не медленнее, чем 
Действительно, как всякое решение уравнения (5), эти функции всюду имеют тот же знак, что и их вторые производные. Отсюда следует, если учесть начальные условия, что они могут только бесконечно расти, причем график все время остается выпуклым вниз. Чтобы оценить скорость возрастания, заметим, что 
и сравним эти функции с решениями дифференциального уравнения 
удовлетворяющими тем же начальным условиям в точке 
а именно 
соответственно; 
всюду больше этих решений (или равны им).
Рис. 15. Диаграмма, представляющая некоторые решения уравнения (5), удовлетворяющие условию 
в случае, когда 
для 
Применяя теорему вронскиана, имеем
поэтому
Интегрируя, получаем
Аналогично доказываем, что 
Заметим попутно, что
поэтому на бесконечности 
аналогично на бесконечности 
. С другой стороны (следствие 2)
Введем функции
Из равенства (34) и того факта, что 
являются решениями уравнения (5), следует:
В интервале 
и есть убывающая функция, а 
— функция возрастающая, причем их разность на бесконечности обращается в нуль. Поэтому они имеют общий (положительный) предел С при 
и
Учитывая (35), это неравенство можно переписать в виде
Частное решение
и его производная
удовлетворяют всюду неравенствам
Всюду положительная функция у стремится к нулю не медленнее, чем 
, следовательно, не медленнее, чем 
. Всюду отрицательная функция у стремится к нулю не медленнее, чем 
Решение у есть решение, обращающееся в нуль на бесконечности, которое мы ищем.
Не существует других решений, обладающих этим свойством, так как если 
, то решение 
может быть записано в виде
и его асимптотическое поведение совпадает с поведением функции 
с точностью до отличного от нуля множителя 
.
