§ 5. Собственные решения радиального уравнения. Структура спектра.

Природа спектра энергии и собственных функции радиального уравнения (20) при заданном значении I зависит от асимптотического поведения решений уравнения, регулярных в начале координат. Все выводы § III. 10 могут быть повторены здесь без изменения.

Предположим, например, что при потенциал стремится к нулю быстрее

Энергетический спектр состоит из двух частей:

а) если то будучи регулярным в начале решение бесконечно растет по абсолютной величине как где кроме некоторых дискретных значений для которых

Эти значения и являются единственно возможными собственными значениями. Каждому из них соответствует радиальная функция с ограниченной нормой;

б) если , то регулярное в начале координат решение бесконечно осциллирует согласно закону

Оно приемлемо в качестве собственного решения при любых значениях и представляет состояние непрерывного спектра. Постоянная называется сдвигом фазы или просто фазой (дополнительный член добавлен для того, чтобы при выполнялось равенство ; см. § 7). Фаза 6 является важной величиной: она характеризует асимптотическое поведение регулярного решения в случае непрерывного спектра и играет существенную роль в задачах о рассеянии (гл. X).

Если потенциал V при стремится к нулю как или еще медленнее (но монотонным образом), то асимптотическое поведение решений не столь просто, однако основной результат, касающийся природы спектра, остается в силе: это всюду невырожденный спектр, включающий непрерывную область для положительных энергий и последовательность (бесконечную счетную) отрицательных дискретных уровней энергии.

Остается показать, что при заданном значении множество построенных нами собственных функций образует полную систему в том смысле, что любая квадратично интегрируемая функция от определенная на полуоси может быть разложена в ряд по этим собственным функциям. Мы примем, что это так для всех рассматриваемых в дальнейшем потенциалов; в противном случае гамильтониан Н не являлся бы наблюдаемой.