§ 11. Понятие оператора

Рассмотрим функцию т. е. производную по времени от можно сказать, что оператор действуя на функцию дает функцию . В общем случае, если некоторая операция позволяет сопоставить каждой функции в некотором функциональном пространстве одну и только одну вполне определенную функцию в том же пространстве, то говорят, что есть функция, получаемая в результате действия некоторого оператора А из этого пространства на функцию и записывают это так:

Оператор А является линейным, если его действие на функцию , т. е. на линейную комбинацию и с постоянными (комплексными) коэффициентами принадлежат одному пространству), выражается формулой

Среди операторов, способных действовать на волновые функции ассоциированные с частицей, можно выделить два особенно важных типа линейных операторов:

1° дифференциальные операторы и

2° операторы вида действие которых состоит в умножении функции на функцию

Исходя из некоторых линейных операторов, можно получать другие линейные операторы с помощью следующих алгебраических операций:

а) умножения оператора А на постоянную с

б) составления суммы двух операторов

в) получения произведения где оператор В умножается на оператор А

Отметим, что, в отличие от суммы, произведение двух операторов не коммутативно. В этом состоит очень важное различие

между алгеброй линейных операторов и алгеброй чисел. Произведение не обязательно тождественно произведению ; в первом случае оператор В первым действует на функцию затем оператор А действует на функцию и дает окончательный результат; во втором случае операторы А и В переставлены между собой. Разность двух произведений называется коммутатором операторов А и коммутатор обозначается символом

Если указанная разность равна нулю, говорят, что операторы коммутируют

В качестве примера некоммутирующих операторов укажем оператор т. е. оператор умножения на заданную функцию и оператор дифференцирования Действительно, какой бы ни была функция Р:

Иначе говоря,

и, в частности,

Напротив, все операторы дифференцирования коммутируют между собой.

Типичным примером линейного оператора, полученного путем умножения и суммирования линейных операторов, является оператор Лапласа

который можно рассматривать как скалярное произведение самого на себя векторного оператора градиента