Раздел IV. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ

§ 14. Рассеяние глубокой прямоугольной потенциальной ямой

В качестве другого примера потенциала конечного радиуса действия рассмотрим прямоугольную потенциальную яму из § IX. 10. Положим

и выясним поведение различных парциальных волн в зависимости от энергии в случае очень глубокой ямы. Точнее говоря, предположим, что

В этом случае величину в правой части уравнения (43) в хорошем приближении можно выразить в виде

Нетрудно проанализировать общее поведение при малых энергиях (т. е., согласно (56), при По формулам (42) и зависит от энергии посредством величин Первые три величины являются монотонными функциями убывает, две другие функции растут), причем поведение их вблизи нуля определяется формулами (45), а в асимптотической области выражениями

В интересующей нас области энергий эти три функции изменяются относительно медленно. Напротив, логарифмическая производная как это видно из формулы (57), меняется быстро, имея при этом серию вертикальных асимптот, соответствующих тем энергиям, для которых (n — целое). Разность энергий между соседними асимптотами равна примерно

Когда энергия изменяется на эту величину, почти всюду оказывается порядка или больше так что почти на всем интервале

Второй член в правой части формулы (42)- - остается малым (с точностью до слагаемого

в то же время a priori нет никаких ограничений на величину Поэтому справедливо приближенное равенство Фазовые сдвиги практически совпадают с теми, которые наблюдаются при рассеянии на твердой сфере того же радиуса. В большей части области изменения энергии потенциал рассеивает каждую парциальную волну подобно твердой сфере: мы имеем дело с «потенциальным рассеянием»; падающая волна практически не проникает во внутреннюю область потенциальной ямы.

Однако существует небольшая область энергий, окружающая точку где для этой области

Определим величины

при этом Г есть ширина указанной области. Замечаем, что

При изменении энергии на несколько Г в обе стороны от величина уменьшается от значений, существенно превосходящих до значений, существенно меньших быстро переходит от значений, соседних с пп, к значениям, близким Эффективное сечение претерпевает резкое изменение, достигая максимального значения говорят, что имеет место резонанс I. По определению есть

энергия резонанса, Г — ширина резонанса, причем Г есть произведение величины у, зависящей от общего поведения потенциала во внутренней области (и практически не зависящей от I), и фактора зависящего от поведения волны во внешней области (и малого при больших I).

Область резонанса достаточно мала, так что можно заменить кривую ее касательной в точке откуда

Используя условие непрерывности (44) для нормировки радиальной функции во внутренней области, находим в том же приближении (справедливом в интервале энергии, охватывающем резонанс, причем

Прохождение энергетической области резонанса I сопровождается, таким образом, резким увеличением интенсивности парциальной -волны во внутренней области потенциальной ямы.

Весь анализ значительно упрощается в случае -волны, когда

Для функции находим явное выражение:

С учетом замены значений задача об рассеянии эквивалентна задаче об отражении волн прямоугольной потенциальной ямой в одномерном случае из § III. 6 (случай обсуждении значения резонанса может быть повторено здесь без изменений.