§ 6. Разложение волновой функции в ряд по ортонормированным собственным функциям

Как мы видели, каждому собственному значению оператора А соответствует последовательность ортонормированных собственных функций

содержащая один элемент, конечное число элементов или бесконечное число элементов, если собственное значение является соответственно невырожденным, вырожденным с конечной кратностью или вырожденным с бесконечной кратностью. Обозначим символом множество, образованное всеми этими

функциями. Всякая функция из этого множества удовлетворяет соотношениям:

Возникает вопрос о возможности представления произвольной волновой функции из пространства Гильберта в виде функционального ряда по функциям системы Это, очевидно, возможно, если есть собственная функция оператора А, и в этом случае единственно отличными от нуля членами ряда будут члены, соответствующие функциям, принадлежащим тому же собственному значению. Если это возможно для произвольной функции говорят, что есть полная система.

Укажем без доказательства некоторые свойства разложений в ряд по ортонормированным системам функций.

Пусть последовательность ортонормированных функций.

1) Если разлагается в ряд по этим функциям

то коэффициенты разложения определяются формулой

и удовлетворяют равенству Парсеваля

2) Обратно, если числовой ряд сходится к числу , то разложение сходится (в смысле среднего квадратичного) к функции с нормой N.

3) Если функциональные ряды сходятся соответственно к то ряд сходится к скалярному произведению на

4) Какой бы ни была квадратично интегрируемая функция ряд

сходится всегда; разность ортогональна ко всем функциям , а норма ее равна Таким образом, всегда

если реализуется равенство,

Все эти свойства сохраняются при нумерации функции и несколькими дискретными индексами. Следовательно, они выполняются и для системы . В частности, если система полна, то любая волновая функция Т может быть представлена рядом

коэффициенты которого равны

и удовлетворяют равенству Парсеваля

Кроме того скалярное произведение двух волновых функций может быть представлено в виде

Если не преследовать целей математической строгости, то уравнения (15) и (16) легко получаются, если подставить (14) в правые части этих уравнений и воспользоваться соотношениями ортонормированности (13). Равенство (17) получается аналогичным образом.

Бросается в глаза аналогия с обычным комплексным векторным пространством. Полная ортонормированная система функций играет роль базисной системы ортогональных друг другу векторов единичной длины. Функция Т есть вектор в этом пространстве (с бесконечным числом измерений), коэффициенты суть компоненты по направлениям базисных векторов (уравнение (15)), а норма этого вектора раина сумме квадратов модулей составляющих (уравнение (16)). Скалярное произведение на равно сумме произведений каждой компоненты на величину, комплексно сопряженную соответствующей компоненте