§ 21. Смена представления

Вернемся к проблеме матричного представления операторов и векторов векторного пространства Каждой базисной системе векторов в этом пространстве соответствует некоторое представление. Следует научиться переходить от одного такого представления к другому. Имеются в виду, конечно, различные представления одного и того же вектора или. оператора. Мы увидим, что переход от одного представления к другому совершается с помощью унитарного преобразования.

Возьмем для определенности две базисные системы: одну, образованную собственными векторами наблюдаемой из § 19, и вторую, образованную собственными векторами другой наблюдаемой спектр которой будем предполагать непрерывным. Две эти системы определяют представления Основные уравнения представления уже были выписаны ранее (уравнения (73) и (74)). Аналогичные уравнения для представления записываются в форме

Базисные векторы одного представления могут быть разложены по базисным векторам другого представления в виде

Скалярное произведение фигурирующее в качестве коэффициента разложения может рассматриваться как элемент матрицы причем есть индекс строки, индекс столбца; скалярное произведение во втором разложении может рассматриваться как элемент матрицы Т, причем есть индекс строки, индекс столбца. Впрочем, поскольку имеем

Хроме того,

Иначе говоря,

матрица унитарна.

Удобно обозначить символом правый вектор с компонентами представляющий кет-вектор в представлении и символом правый вектор с компонентами представляющий тот же вектор в представлении Применяя соотношение (74), имеем

другими словами,

Обозначим также с помощью матрицы, соответствующие заданному оператору А в представлениях тогда

или

Аналогично для левых векторов представляющих один и тот же бра-вектор имеем

Уравнения (85), (86), (87) являются искомыми уравнениями, характеризующими унитарное преобразование (ср. формулы (80)).

Таким образом, переход от представления к представлению осуществляется при помощи унитарного преобразования

Элементы полученной матрицы обладают следующими замечательными свойствами:

— рассматриваемые как функции индекса столбца элементы строки являются компонентами левого вектора представляющего собственный бра-вектор оператора в представлении

— рассматриваемые как функции индекса строки элементы столбца являются компонентами правого вектора представляющего собственный кет-вектор оператора в представлении

В частности, решение в представлении проблемы собственных значений оператора есть задача, математически эквивалентная нахождению преобразования S, диагонализующего матрицу Аналогично решение в представлении проблемы собственных значений оператора эквивалентно нахождению преобразования диагонализующего матрицу .

Важно выделить те величины и те соотношения, которые могут быть определены независимо от вида представления. Этим качеством обладают величины и соотношения, определяемые непосредственно с помощью векторов и операторов. Так, скалярное произведение двух векторов есть величина, инвариантная: относительно изменения представления. Соотношения эрмитового сопряжения и все алгебраические уравнения между векторами и между операторами также обладают этим свойством инвариантности.

Отметим еще сохранение следа: след (если он сходится) матрицы, представляющей оператор, сохраняет свое значение независимо от выбранного представления; эта величина характеризует сам оператор. Нетрудно показать, что (задача 6)