§ 13. Применение принципа соответствия при вычислении постоянной Ридберга

Проверим, что выражение (7) для уровней энергии атома водорода согласуется с принципом соответствия, и покажем, что применение этого принципа позволяет однозначно получить численное значение постоянной входящей в эту формулу.

Согласно классической теории Резерфорда атом водорода состоит из одного электрона и одного протона, взаимодействующих по закону Кулона (потенциал ). В соответствии с законами Кеплера, которые мы предполагаем известными читателю, электрон движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится протон (мы предполагаем его бесконечно тяжелым). Каждой орбите соответствует некоторое значение энергии и некоторая частота движения электрона по орбите. Эти величины зависят только от размеров большой оси эллипса и связаны между собой соотношением

где — масса электрона.

При своем движении электрон испускает электромагнитное излучение в форме суперпозиции монохроматических волн с частотами и кратными гармониками, причем число высших гармоник тем больше, чем больше эксцентриситет эллиптической орбиты. Это излучение происходит непрерывно и сопровождается непрерывным уменьшением энергии Е.

Эта картина должна быть сопоставлена со скачкообразным процессом потери энергии электроном, предсказываемым теорией Бора. При очень больших расстояние между уровнями энергии пропорционально . Для всех оптических переходов, когда относительное изменение квантового числа очень мало, излучаемая частота, как и в классической теории, есть гармоника (порядка некоторой основной частоты

В предельном случае больших энергия изменяется практически непрерывно Путем многочисленных мелких скачков, так что спектр испускаемых частот (точнее, низкочастотная часть

этого спектра, соответствующая наиболее малым квантам энергии) должен по принципу соответствия совпадать с классическим спектром. Иначе говоря,

Сравнение выражений (8) и (9) показывает, что это условие выполняется, если принять

Экспериментальное значение известно с большой точностью Теоретическое значение (11) согласуется с ним с точностью до Это один из наиболее ярких успехов теории Бора.

Эти рассуждения нетрудно распространить на случай водородоподобных атомов, состоящих из электрона и ядра заряда в частности, иона атома гелия Достаточно во всех формулах заменить на Теоретически полученные термы с той же удивительной точностью порядка совпадают с наблюдаемыми экспериментально.