§ 9. Разложение плоской волны по сферическим функциям

Каждое собственное значение энергии свободной частицы бесконечно вырождено. Поскольку сферические волны (30) образуют полную систему, счетное множество сферических волн, соответствующее заданному волновому числу, растягивает пространство собственных функций с энергией

Следовательно, плоская волна может быть разложена в ряд по этим функциям:

Если выбрать ось в направлении то плоская волна может быть записана в форме она не зависит от и разложение (31) содержит только члены с Положим

Разложение плоской волны сводится к разложению в ряд по полиномам Лежандра (см. уравнение (Б. 94)):

Для определения коэффициентов можно действовать следующим образом. Дифференцируя почленно ряд (32) по находим

Но это же разложение может быть записано и в другом виде, если учесть рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра (Б.78):

Приравнивая коэффициенты при в разложениях (33) и (34) и используя рекуррентные соотношения (Б.53-54) для сферических функций Бесселя, получаем соотношения:

Чтобы они выполнялись при любом необходимо и достаточно, чтобы выражения в скобках равнялись нулю, т. е. чтобы

откуда

Коэффициент со можно найти, записывая разложение для случая тогда поскольку получим

В заключение выпишем формулу разложения плоской волны:

Для того чтобы получить это разложение в произвольной системе сферических координат, заметим, что угол фигурирующий в разложении (35), есть угол между Обозначим символами угловые координаты этих векторов. Согласно теореме сложения сферических функций (Б. 98)

Подставляя это выражение в разложение (35), имеем