§ 15. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых

Рассмотрим наблюдаемую А. Из ее собственных функций можно образовать полную ортонормированную систему собственных функций; будем называть эту систему функций базисной системой наблюдаемой А. Базисная система, вообще говоря, не единственна. Степень произвола при ее выборе обсуждалась в § 9. Условимся считать тождественными две системы, составляющие функции которых отличаются только фазой и (в случае непрерывного спектра) нормировкой. При этом условии базисная система наблюдаемой А единственна, если все собственные значения невырождены. Чтобы исследовать другой случай, примем сначала, что собственное значение а дважды вырождено, и пусть суть две собственные ортонормированные функции, принадлежащие этому собственному значению. Нетрудно проверить, что функции

также будут ортонормированными, принадлежащими тому же собственному значению. Базисная система наблюдаемой Л может быть образована как из функций так и из функций Следовательно, базисная система А не является единственной.

Пусть теперь имеется еще одна наблюдаемая В, коммутирующая с А. Может случиться, что общая базисная система А и В, существование которой мы доказали в § 14, будет единственной. Тогда говорят, что наблюдаемые А и В образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых.

Если Л и В не обладают единственной общей базисной системой, мы вынуждены добавить к ним третью наблюдаемую

С, коммутирующую с первыми двумя и т. д.

В общем случае говорят, что наблюдаемые образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, если они обладают общей базисной системой и эта система единственна. В этом случае любая наблюдаемая, коммутирующая с каждой наблюдаемой полного набора, по необходимости обладает той же базисной системой, поэтому ее собственные значения являются вполне определенными функциями собственных значений наблюдаемых иными словами, эта наблюдаемая может рассматриваться как функция наблюдаемых набора.

Динамические переменные, представляемые полным набором коммутирующих наблюдаемых, могут быть одновременно точно измерены и образуют полный набор совместных переменных (§ IV. 17). Если осуществить одновременное точное измерение значений этих переменных, то волновая функция системы будет собственной функцией наблюдаемых принадлежащей собственным значениям , обнаруженным в результате измерения. Поскольку существует только одна собственная функция, обладающая этим свойством, то выполнение этих измерений полностью определяет волновую функцию физической системы. Говорят, что динамическое состояние физической системы полностью определяется заданием квантовых чисел . В действительности, эта функция определяется только с точностью до постоянного множителя, но поскольку физически измеряемые величины, а именно статистические распределения результатов различных возможных измерений не зависят от выбора этой постоянной, можно придать ей любое значение, не меняя физической значимости волновой функции. Обычно волновую функцию нормируют на единицу, что оставляет произвольной постоянную фазу, не имеющую физического смысла.

Осуществление физического эксперимента можно описать следующим образом. В начальный момент времени мы «приготовляем» систему, выполняя одновременное измерение полного набора совместных переменных. Таким образом, динамическое состояние физической системы в начальный момент времени оказывается полностью определенным.

В дальнейшем волновая функция физической системы эволюционирует во времени, подчиняясь уравнению Шредингера. В каждый последующий момент времени динамическое состояние системы таким образом точно известно, по крайней мере до того момента, когда оно будет возмущено вмешательством измерительного прибора. Наконец, в некоторый момент времени мы осуществляем данное измерение. Поскольку волновая функция в момент измерения известна, можно точно указать статистическое распределение результатов измерения. Повторяя опыт на очень большом числе тождественных систем, мы получаем экспериментальное распределение, которое можно сравнить с теоретическим.