§ 18. Бесконечные матрицы

Большую часть результатов, относящихся к конечным матрицам, можно распространить и на бесконечные матрицы. В этом случае также строки и столбцы нумеруются одним или несколькими индексами, но эти индексы могут составлять бесконечное счетное множество или даже континуальное множество значений в некоторой области. Бесконечная матрица является квадратной, если ее строки и столбцы отмечаются одной системой индексов. При наличии только одного столбца мы имеем правый вектор, при наличии только одной строки — левый вектор.

Операции комплексного сопряжения, транспонирования и эрмитового сопряжения без изменений переносятся на случай бесконечных матриц. То же самое можно сказать относительно умножения на постоянную и операции суммирования. Что же касается умножения А на Б, то подразумевается, естественно, что строки В и столбцы А отмечаются одной системой индексов. Если, кроме того, некоторые индексы являются непрерывными, суммирование должно быть заменено интегрированием. Предположим, например, что А и В являются квадратными матрицами, элементы которых зависят от некоторого непрерывного индекса изменяющегося в интервале Тогда элемент матрицы выражается формулой

Произведение определено, конечно, только в том случае, если суммы и интегралы, входящие в формулу, сходятся.

Если отвлечься от проблем сходимости, то все результаты § 17, относящиеся к квадратным матрицам, переносятся без изменения на случай бесконечных матриц, за исключением понятия детерминанта. Следует уточнить только определение диагональной матрицы в случае непрерывно изменяющихся индексов и условия существования обратной матрицы.

По определению непрерывная матрица диагональна, если она имеет форму

где есть произвольная функция индекса При этом оказываются справедливыми два основных характерных свойства диагональных матриц: их свойство коммутировать друг с другом и то свойство, что действие диагональной матрицы на вектор состоит в умножении каждой компоненты вектора на соответствующий диагональный элемент матрицы. Так, при действии

диагональной матрицы (70) на правый вектор с компонентами получается вектор с компонентами

Заметим, что непрерывная матрица не является диагональной.

Что же касается существования матрицы, обратной к данной, то, в противоположность случаю конечных матриц, выполнение условия

не влечет за собой, вообще говоря, выполнения равенства

Для утверждения, что матрицы А и В обратны друг другу, требуется одновременное выполнение равенств (71 а, б).

Для того чтобы матрица А имела обратную, вовсе не обязательно, чтобы она была квадратной. Например, возможен случай, когда строки матрицы А нумеруются дискретным индексом, а столбцы — непрерывным, и тем не менее она имеет обратную матрицу; в этом случае обратная матрица будет иметь дискретным индекс столбца и непрерывным — индекс строки. В частном случае унитарной матрицы которая, по определению, удовлетворяет двум уравнениям

индексы строк и столбцов не обязательно имеют одинаковую природу. Однако единичные матрицы, стоящие в правых частях этих равенств, необходимо являются квадратными матрицами. Если матрица не квадратна, то системы индексов единичных матриц в правых частях (72) различны.