§ 14. Измерения импульса

Аналогичным образом импульс частицы может a priori быть измерен с любой наперед заданной точностью, но операция измерения всегда сопровождается возмущением, которое увеличивает неопределенность в знании координаты, измеряющей положение, так что соотношения неопределенности всегда выполнены. Покажем это на двух примерах.

а) Отклонение в магнитном поле. Импульс заряженной частицы обычно измеряется по отклонению в постоянном магнитном поле. Количество движения связано с радиусом кривизны траектории частицы хорошо известным соотношением

где — величина магнитного поля, заряд частицы.

Исследуем процесс измерения импульса электрона этим методом. На рис. 20 представлена схема эксперимента. Электрон попадает в поле магнита через диафрагму А и покидает его через диафрагму В после отклонения на 180° (этот угол отклонения выбран для удобства рассуждений). В момент, непосредственно предшествующий началу измерения (т. е. непосредственно

перед прохождением диафрагмы), направление движения (ось Оу) и координата электрона в этом направлении по предположению точно известны. Эти начальные условия в принципе всегда могут быть реализованы с помощью коллиматора, снабженного обтюратором с достаточно коротким «временем пропускания». Радиус кривизны равен половине расстояния между двумя диафрагмами: если соответствующие ширины этих диафрагм, то измеряется с точностью до Таким образом, импульс электрона известен с точностью до

Рис. 20. Измерение импульса методом отклонения в магнитном поле.

Измеряемой в опыте величиной является составляющая импульса в направлении оси Покажем, что в результате измерения координата электрона у будет характеризоваться неопределенностью А у, причем Квантовым эффектом, существенным в этом опыте, является дифракция электронной волны при прохождении диафрагмы А (читатель без труда убедится в том, что дифракция на диафрагме В роли не играет). Если бы указанного эффекта не было, то импульс электрона на входе в область действия поля был бы строго направлен по далее электрон описывал бы полукруг, и время движения от А к В, равное не зависело бы от величины Квантовый эффект дифракции приводит к тому, что угол между направлением импульса на входе и осью характеризуется неопределенностью траектория электрона (в приближении геометрической оптики) есть дуга окружности, определяемая с точностью до ; момент прихода в В характеризуется неопределенностью а неопределенность в раз больше, следовательно

Отсюда получаем

б) Столкновение с фотоном. Следующий метод измерения импульса основан на изучении процесса столкновения

рассматризаемой частицы с другой частицей, например, с фотоном, начальный импульс которого известен точно; измеряется импульс, передаваемый при столкновении второй частице. Рассмотрим электрон из предшествующей задачи с начальными данными Для определения импульса электрона будем облучать его идеально монохроматическим светом частоты распространяющимся параллельно оси у. Один из световых фотонов испытывает комптоновское столкновение и измеряется его конечный импульс. Чтобы упростить рассуждения, предположим, что конечный импульс фотона также параллелен оси у, но направлен в противоположную сторону (рис. 21). Пусть — частота фотона после столкновения; теория комптоновского рассеяния позволяет выразить начальный и конечный импульсы электрона через частоты и Предположим, что реализуются условия нерелятивистского приближения . В результате вычислений находим

причем точность определения этих величин связана с точностью определения соотношением

Рис. 21. Измерение импульса электрона при комптоновском столкновении с фотоном. Схема столкновения

Положение у электрона после измерения может быть вычислено, исходя из того, что в начальный момент , скорость электрона до столкновения равна а после столкновения Если положение и импульс рассеянного фотона можно было бы измерить одновременно с большой точностью, то был бы строго определен и момент столкновения, а тогда неопределенности в значениях и у могли бы быть сделаны одновременно сколь угодно малыми. Читатель проверит это без труда. Однако измерение есть измерение частоты; чем точнее это измерение, тем больше неопределенность в определении момента прохождения фотоном какой-либо точки, в частности в определении момента столкновения: же время неопределенность А у в положении электрона после столкновения равна по меньшей мере произведению

на изменение скорости, т. е.

что дает

В этой измерительной операции, как и в предшествующей, измеряемая величина сама меняется в процессе измерения. Это изменение не следует смешивать с непредсказуемым и неконтролируемым возмущением, испытываемым системой при измерении. Действительно, указанное изменение известно точно, во всяком случае значения величины до и после столкновения известны с одинаковой точностью, которая может быть сделана сколь угодно большой. Напротив, ввиду невозможности предсказать и контролировать возмущение, испытываемое частицей при осуществлении измерения (неопределенность в определении момента передачи импульса и энергии), величина у после столкновения известна только с неопределенностью А у, причем эта неопределенность тем больше, чем точнее измерение

Подчеркнем еще раз универсальность характера соотношений неопределенности. Действительно, что бы произошло, если, величина кванта действия для фотонов была бы равна некоторой величине значительно меньшей Все наши рассуждения относительно измерения типа б) можно было бы повторить, заменяя всюду на это привело бы нас к соотношению Соотношения неопределенности оказались бы нарушенными и вся развиваемая нами статистическая интерпретация теории пришла бы в противоречие с опытом.

Оба метода измерения импульса, обсуждавшиеся выше, требуют некоторого временного интервала. Этот интервал может быть вообще говоря уменьшен (при увеличении поля в первом случае, при увеличении частоты во втором; см. задачу 7) без изменения точности измерения Но как бы то ни было, вероятности, определенные в §§ 2, 5, вычисляются с помощью волновой функции, заданной в момент времени Поскольку само измерение не мгновенно, следует точно определить этот момент времени: есть момент начала измерения, так что распределение вероятностей, данное в § 2 (уравнение (6)) относится к импульсу т. е. к импульсу до измерения.