§ 3. Дуальное пространство. Бра-векторы

В линейной алгебре хорошо известно, что каждому векторному пространству можно сопоставить дуальное векторное пространство. Действительно, всякая линейная функция кет-векторов удовлетворяет принципу суперпозиции, характерному для векторов линейного пространства, и определяет,

следовательно, вектор нового типа, который мы, согласно Дираку, будем называть бра-вектором или просто а представлять его будем символом Так, функция определяет бра-вектор значение, принимаемое этой функцией при некотором данном кет-векторе есть некоторое число (в общем случае комплексное), которое мы будем обозначать символом

По определению бра-вектор равен нулю, если функция равна нулю при любом

Аналогично два бра-вектора равны

Если пространство кет-векторов имеет конечное число измерений, то дуальное пространство имеет то же число измерений. Если число измерений пространства кет-векторов бесконечно, то пространство, дуальное ему, обладает тем же свойством.

Чтобы ввести метрику в определенное выше векторное пространство, предположим, что существует взаимооднозначное соответствие между векторами пространства и векторами дуального пространства. и кет-векторы, сопоставляемые друг другу в этом взаимооднозначном соответствии, называются сопряженными друг другу и отмечаются одной буквой (или одинаковыми индексами): так, бра-вектор, сопряженный кет-вектору , обозначается символом

Предположим кроме того, что это соответствие антилинейно. Иначе говоря, бра-вектор, сопряженный кет-вектору

есть

Аналогично бра-вектор, сопряженный кет-вектору

есть

Таким образом, соответствие между и бра-векторами аналогично соответствию между волновыми функциями волновой механики и комплексно сопряженными функциями. Заметим,

кстати, что если кет-вектор равен нулю, то сопряженный ему бра-вектор также равен нулю и наоборот.

Совокупность бра-векторов, сопряженных кет-векторам из подпространства пространства образует подпространство, дуальное