§ 10. Разложение по сферическим функциям

Кулоновская волновая функция определенная в § 7,

может быть представлена в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра:

Это разложение аналогично разложению плоской волны

в которое оно переходит при

Чтобы доказать соотношение (46), следует использовать интегральное представление (Б.6) гипергеометрической функции, фигурирующей в определении что дает

Если разложить экспоненту в подынтегральном выражении в ряд по полиномам Лежандра по формуле (47) и изменить порядок суммирования и интегрирования, получим

где

С другой стороны, мы знаем, что

откуда

Подставляя это выражение для в интеграл в правой части (49) и вновь меняя порядок суммирования и интегрирования, находим

и поскольку, следуя (Б.5),

имеем

При учете определений (40), (42) и (43) это дает

Искомое разложение получается при подстановке этого выражения в уравнение (48).

Можно бычо, впрочем, ожидать этого результата заранее. Действительно, поскольку есть регулярное решение уравнения Шредингера (20), необходимо есть регулярное решение радиального уравнения (37), т. е. пропорционально Цель нашего вычисления состояла в определнии константы пропорциональности.

Полезно выразить разложение (46) при помощи расходящихся и сходящихся кулоновских волновых функций. Подставляя вместо ее выражение через функции (уравнение (44)), находим