§ 9. Проблема собственных значений и наблюдаемые

Пусть А — линейный оператор. Тогда, по определению, комплексное число а есть собственное значение А, а кет-вектор есть собственный кет-вектор, принадлежащий а, если

Аналогично есть собственный бра-вектор, принадлежащий а, если

Если — собственный кет-вектор А, то любой вектор типа также есть собственный кет-вектор, принадлежащий тому же собственному значению; если существует несколько линейно независимых векторов, относящихся к одному собственному значению, то всякая линейная комбинация этих кет-векторов также принадлежит тому же собственному значению. Иными словами, множество собственных кет-векторов, принадлежащих одному данному собственному значению, образует векторное пространство; будем называть его подпррстранством, относящимся к собственному значению а. Если это подпространство одномерно, говорят, что собственное значение простое, или невырожденное. В противном случае имеет место

вырождение, причем порядок вырождения по определению равен числу: измерений соответствующего подпространства; может случиться, что вырождение имеет и бесконечный порядок.

Те же замечания относятся к собственным бра-векторам. Если А — произвольный линейный оператор, то никакой простой связи между проблемой собственных значений для кет-векторов и проблемой собственных значений для бра-векторов не существует. Однако в практически важном случае эрмитового оператора А эти проблемы тесно связаны между собой.

Если А эрмитов оператор, то:

1) оба спектра собственных значений идентичны;

2) все собственные значения вещественны;

3) всякий бра-вектор, сопряженный собственному кет-вектору оператора А, является собственным бра-вектором, относящимся к тому же собственному значению, и наоборот; иными словами, подпространство собственных бра-векторов, относящееся к данному собственному значению, дуально подпространству собственных кет-векторов, относящемуся к тому же собственному значению.

Доказательство свойства 2) с точностью до обозначений совпадает с приведенным в § V. 5. Если то

я, поскольку,

вещественно вместе с поэтому а вещественно. То же доказательство можно провести для собственного значения, относящегося к бра-вектору.

Кроме того, поскольку всякое собственное значение вещественно, равенство влечет за собой и обратно; отсюда без труда получаются свойства 1) и 3).

Другим важным свойством собственных векторов, принад лежащих различным собственным значениям, является свойство их ортогональности. Доказательство не отличается от приведенного в § V. 5. Если — собственные кет-векторы, принадлежащие различным собственным значениям а и

то, умножая первое уравнение скалярно слева на а второе — справа на и вычитая одно из другого, получим

Поэтому, если то

Во всех этих рассуждениях молчаливо предполагается, что собственные векторы принадлежат пространству Гильберта. Но такая постановка проблемы собственных значений оказывается слишком ограниченной и не может удовлетворить всем потребностям квантовой теории. В качестве допустимых собственных решений мы должны рассматривать также и векторы с бесконечной нормой, удовлетворяющие условиям, упомянутым в конце § 4. Эти векторы принадлежат собственным значениям из непрерывного спектра.

Трудности, возникающие при исследовании непрерывного спектра, подробно обсуждались в гл. V и мы не будем возвращаться к ним здесь. Основные результаты могут быть без труда выражены в наших новых обозначениях. Свойства 1), 2) и 3) остаются справедливыми в случае непрерывного спектра. Что же касается свойства ортогональности, то его удобно записывать с помощью -функции Дирака.

Вернемся в качестве примера к эрмитовому оператору из § V. 9, спектр собственных значений которого содержит ряд дискретных значений и непрерывную часть Собственные функции относящиеся к собственному значению представляют ортонормированные кет-векторы, которые мы обозначаем символом Аналогично собственные функции представляют кет-векторы Соотношения ортонормированности между различными кет-векторами записываются в виде (уравнение (V. 38)):

Если множество собственных векторов растягивает все пространство, иначе говоря, если всякий вектор с конечной нормой может быть разложен в ряд (или интеграл) по этим собственным векторам, то говорят, что они образуют полную систему и что эрмитов оператор является наблюдаемой. Среди эрмитовых операторов пространства только наблюдаемые допускают физическую интерпретацию.

Выяснение вопроса о том, является ли заданный эрмитов оператор наблюдаемой, часто является сложной математической задачей. Однако существует очень важный класс операторов, для которых эта задача решается просто — это операторы проектирования.