Соотношения (57) очевидны, при этом второе следует из того факта, что операции дифференцирования переставимы. Соотношение (58) есть обобщение (53), причем подразумевается
Ввиду того, что 
не коммутируют, определение динамической переменной 
требует указания порядка расположения 
и 
при явном выражении функции 
. На практике А обычно выражается в виде полинома от 
или бесконечного ряда по степеням 
коэффициенты которого суть функции 
Каждый член имеет вид произведения компонент 
и функций от 
расположенных в определенном порядке. Функция А, рассматриваемая как оператор, вполне определена только тогда, когда точно указан порядок операторов в каждом члене разложения. Важно установить, какой вид имеют коммутаторы 
и 
с заданной операторной функцией 
. Если мы имеем дело с функциями только от 
или только от 
то нетрудно получить соотношения:
Соотношения (59) и (60) являются частными случаями общего правила, установленного в конце § 14. Чтобы доказать равенство (61), необходимо выписать оператор 
в явном виде и проверить действие левой и правой частей равенства на некоторую волновую функцию (см. уравнение (II. 9)). Уравнение (62) допускает ту же проверку, но в пространстве импульсов; напомним, что если 
есть волновая функция в пространстве импульсов, соответствующая 
то функция в пространстве импульсов, соответствующая 
имеет вид
Тот же результат можно получить, воспользовавшись правилами алгебры коммутаторов. Приведем здесь четыре основных
правила. Они следуют из определения коммутаторов, и читатель без труда может проверить их непосредственным вычислением. Пусть А, В, С—некоторые линейные операторы. Тогда имеем:
Повторным применением правила (65) получим также 
В частности, для системы в одном измерении имеем
Соотношение (62) доказано, таким образом, если 
представляет собой одночлен от 
но согласно формуле (64) оно доказано и для случая, когда 
выражается полиномом или, в общем случае, сходящимся рядом по степеням 
Для произвольных функций от 
можно написать
где правые части получаются формальным дифференцированием функции А, причем подразумевается, что порядок операторов 
и 
при явном выражении функции А выбран правильно.
Проиллюстрируем это на примере квантовой системы в одном измерении. Пусть 
есть некоторая функция 
Коммутаторы 
и каждой из функций 
могут быть получены дифференцированием по 
этих функций, однако это будут различные операторы. Действительно, повторным применением правила (62) находим:
Аналогичным образом
являются некоторыми функциями наблюдаемых положения 
и наблюдаемых импульса 
т. е. наблюдаемых, не коммутирующих между собой. Коммутаторы 
играют фундаментальную роль в теории. Они имеют
