Раздел I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ В ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕ

§ 2. Вероятности результатов измерения координаты и импульса частицы

Разберем вначале случай квантовой системы, состоящей из одной частицы. Пусть есть ее волновая функция. Они удовлетворяет уравнению Шредингера и полностью определяется в любой момент времени, если известно значение в начальный момент . Сейчас мы анализируем ситуацию в некоторый данный момент времени и обозначим через волновую функцию частицы в этот момент.

Динамическое состояние классической частицы определяется в каждый момент заданием ее положения и импульса Но поскольку волновая функция имеет некоторую пространственную протяженность, мы не можем приписывать квантовой частице точное положение в пространстве. Можно говорить лишь о вероятности найти частицу в некоторой области пространства, когда производится измерение ее положения. Обозначим символом вероятность найти частицу в

элементе объема тогда вероятность найти ее в объеме мы получим интегрированием «плотности вероятности» по этому объему: Подобно этому мы, вообще говоря, не можем приписать квантовой частице точно заданный импульс. Конечно, если сопоставляемая частице волна является плоской волной то она, по закону соответствия де Бройля, действительно представляет частицу с импульсом Однако в общем случае волна представляет собой суперпозицию многих плоских волн с различными волновыми векторами Поэтому можно определить только вероятность того, что измеряемый импульс окажется в некоторой области пространства импульсов. Обозначим символом вероятность найти импульс частицы в интервале тогда вероятность найти импульс в некоторой конечной области импульсного пространства получится интегрированием: Плотности вероятности являются величинами существенно положительными и должны удовлетворять очевидным условиям

где интегрирование распространяется на все конфигурационное и импульсное пространства, соответственно.

Распределения вероятности должны быть полностью заданы, если известна волновая функция Определим равенством

Эта формула вполне согласуется с высказанной ранее идеей о том, что вероятность нахождения частицы в точке должна быть тем больше, чем больше интенсивность волны в этой точке.

Выполнение равенства (1) требует, чтобы волновая функция подчинялась так называемому условию нормировки

Это предполагает, что функция является квадратично интегрируемой, причем ее норма остается постоянной во времени. Мы покажем в дальнейшем, что это условие согласованности статистической интерпретации действительно выполняется.

Чтобы определить рассмотрим операцию измерения импульса частицы, сопоставляемой волне Эта проблема аналогична спектральному анализу световой волны, причем

аналогия становится особенно ясной, если измерение импульса производится с помощью некоторого дифракционного устройства; однако все рассуждения имеют общий характер и не зависят от конкретного устройства измерительного аппарата. Введем преобразование Фурье волновой функции согласно соотношениям

Следуя уравнению (5) функцию можно рассматривать как линейную суперпозицию элементарных волн с точно определенным импульсом причем каждая элементарная волна входит с коэффициентом . Если бы эта суперпозиция содержала только один член то результат измерения был бы равен . Если отлична от нуля только в малой: области, окружающей как в случае волновых пакетов, изучавшихся в гл. II, то значение импульса почти наверняка находится вблизи . В общем случае можно сказать, что вероятность найти значение импульса в элементе объема тем больше, чем больше Таким образом, мы можем положить

Поскольку скалярное произведение инвариантно относительно преобразования Фурье (теорема IV, см. Дополнение А § 16; в дальнейшем будем обозначать, например, § А. 16, § Б.9 и т.д.):

условие нормировки (1) автоматически удовлетворяется, если функция нормирована на единицу.

Преобразование Фурье устанавливает взаимооднозначное соответствие между функциями . Задания функци» подобно заданию функции достаточно для определения динамического состояния частицы. Поэтому

называют волновой функцией в импульсном пространстве, что оправдывается еще и тем, что и Ф играют в определениях (2) и (6) вполне аналогичную роль. Иногда говорят, что функции и Ф являются эквивалентными представлениями одного динамического состояния.

Следует четко представлять себе физический смысл введенных нами величин Частица, сопоставляемая волне, вообще говоря, не обладает ни определенным положением, ни определенным импульсом; если производить измерение той или иной динамической переменной в отдельной системе, представляемой волновой функцией то никаких предсказаний результата сделать нельзя. Вероятностные предсказания, о которых шла речь выше, относятся к ансамблю из очень большого числа эквивалентных систем, не зависимых друг от друга, каждая из которых представляется одной и той же волновой функцией Если производить в каждой из этих систем измерение пространственного положения, то величина дает вероятность распределения результатов измерения в предельном случае, когда число членов статистического ансамбля стремится к бесконечности. Если измеряется импульс, то величина при тех же условиях дает распределение результатов измерения импульса.

Чтобы определить исходя из волновой функции, мы основывались на соображениях правдоподобности и внутренней логики определения. Но совершенно не очевидно, что выражения (2) и (6) являются единственными, которые можно получить путем подобных рассуждений. Распределения вероятности могут быть в принципе непосредственно сопоставлены с опытными данными. Выражения (2) и (6) получат окончательное подтверждение, если результат такого сопоставления окажется удовлетворительным.