§ 12. Наблюдаемые, обладающие только дискретным спектром

Пусть А — эрмитов оператор. В этом параграфе мы рассмотрим проблему собственных значений, органичиваясь случаем, когда собственные векторы принадлежат пространству Гильберта. Собственные значения образуют дискретную последовательность Пусть есть подпространство, принадлежащее собственному значению — проектор на это подпространство. Если собственное значение невырождено, то имеет одно измерение и — элементарный проектор. В противном случае всегда можно сделать выбор (и бесчисленным числом способов) базисной системы в так, что

Подпространства, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны, следовательно

Суммируя проекторы, принадлежащие всем собственным значениям дискретного спектра, получаем проектор

подпространство проекции которого есть объединение всех а есть пространство векторов, образованных линейной суперпозицией собственных кет-векторов А, принадлежащих пространству Гильберта.

Если А — наблюдаемая, имеющая только дискретный спектр, то по определению, совпадает с полным пространством иначе говоря

Иногда левую часть этого равенства называют разложением единицы по отношению к собственным значениям оператора А. Ясно, что это разложение единственно, т. е. что всякий кет-вектор единственным образом может быть представлен в виде суммы собственных кет-векторов каждый из которых

принадлежит одному определенному собственному значению. Чтобы написать эту сумму, достаточно применить к каждый член равенства (44):

Согласно определению вектор либо равен нулю, либо есть собственный кет-вектор А, принадлежащий собственному значению причем это имеет место для любого кет-век-тора поэтому имеем

Умножая почленно уравнение (44) на А, получим, принимая во внимание (46):

Из этого равенства следует, что наблюдаемая А полностью определяется заданием ее собственных значений и соответствующих подпространств. Выражение (47) для оператора А показывает, кроме того, что оператор А коммутирует со всеми проекторами

Соотношения (44), (45), (47) характерны для наблюдаемых, обладающих только дискретным спектром, при этом число собственных значений может быть как конечным, так и бесконечным. Мы не будем исследовать здесь вопроса о сходимости соответствующих рядов, эта сходимость всегда имеется.

Особенно удобные выражения получаются, если всюду вместо подставить выражение (41). Так, левая часть уравнения (44) выражается в виде суммы элементарных проекторов и мы получаем соотношение замкнутости

Вместе с соотношениями ортонормированности

это условие выражает тот факт, что множество кет-векторов образует полную ортонормированную систему.

Применяя оператор из (48) к некоторому вектору, получаем разложение

в ряд по собственным векторам Коэффициенты разложения равны скалярным произведениям (ср. уравнения

(V. (14-15)). Кроме того

Норма равна сумме квадратов модулей коэффициентов разложения: это есть равенство Парсеваля (ср. уравнение (V.16)).

Наблюдаемая А может быть представлена в виде ряда ортогональных элементарных проекторов. Производя те же операции, которые привели к уравнению (47), получаем