§ 6. Дифференцирование обобщенных функций

По определению производная обобщенной функции есть

В частности, если локально интегрируемая функция дифференцируема, то производная соответствующей обобщенной функции есть обобщенная функция, соответствующая ее производной. Действительно, интегрируя по частям, имеем

Все свойства производных обычных функций переносятся на производные обобщенных функций. Например, производная произведения есть

Но, кроме того, некоторые результаты, относящиеся к более или менее ограниченным классам функций, справедливы по отношению ко всем обобщенным функциям без ограничений. Именно:

1°. Обобщенные функции бесконечно дифференцируемы.

В частности, локально интегрируемые функции дифференцируемы как обобщенные функции произвольное число раз:

2°. Дифференцирование является линейной непрерывной операцией в пространстве обобщенных функций:

Следовательно, если ряд сходится, то он дифференцируем почленно под знаком суммы. Аналогично, если интегрируема по параметру X:

то обязательно интегрируема в той же области и ее интеграл равен