§ 15. Операторы, коммутирующие с наблюдаемой. Коммутирующие наблюдаемые

Операторные функции наблюдаемой А принадлежат, вообще говоря, к более широкому классу операторов, а именно операторов, коммутирующих с А. Действие таких операторов на собственные векторы А особенно просто. Действительно, если есть собственный вектор

и если

то

Таким образом есть собственный вектор А, принадлежащий тому же собственному значению (если только вектор не равен нулю).

Обратно, для того чтобы оператор X коммутировал с наблюдаемой А, достаточно, чтобы его действие на каждый вектор полной ортонормированной системы собственных векторов А давало вектор, также являющийся собственным вектором А, принадлежащим тому же собственному значению.

На самом деле если выполняется сказанное, то действие коммутатора на каждый вектор этой полной системы дает нуль, поэтому выполняется операторное равенство .

Все это применимо, конечно, и к коммутирующим наблюдаемым. Кроме того, все сказанное в гл. V (§§ 14, 15) относительно коммутирующих наблюдаемых, можно повторить здесь с некоторым изменением терминологии. Приведем еще раз основные результаты.

Базисной системой наблюдаемой мы называем всякую полную ортонормированную систему собственных векторов этой наблюдаемой, причем считаем тождественными системы, отличающиеся только фазовыми множителями при собственных векторах, порядком расположения векторов дискретного спектра и выбором непрерывных индексов в случае непрерывного спектра.

Имеем следующую важную теорему:

Если две наблюдаемые А и В коммутируют, то они обладают по крайней мере одной общей базисной системой, и обратно, если две наблюдаемые А и В обладают общей базисной системой, то они коммутируют.

Всякая функция собственных значений двух коммутирующих наблюдаемых А и В позволяет определить линейный оператор — функцию этих двух наблюдаемых с помощью естественного обобщения понятия операторной функции одной

наблюдаемой. Легко показать, что если каждый общий собственный вектор наблюдаемых А и В есть собственный вектор линейного оператора то последний есть некоторая операторная функция А и В.

Все это без труда обобщается на случай любого числа коммутирующих между собой наблюдаемых.

Наконец, говорят, что последовательность наблюдаемых составляет полный набор коммутирующих наблюдаемых, если эти наблюдаемые все коммутируют между собой и если их общая базисная система определяется единственным образом. Каждому множеству собственных значений соответствует один и только один общий собственный вектор (определенный с точностью до постоянного множителя). Этот вектор может рассматриваться как функция собственных значений Его обычно обозначают символом