§ 7. Столкновение двух частиц. Лабораторная система и система центра масс

Метод отделения движения центра масс позволяет рассмотреть задачу о столкновении двух частиц при наличии потенциала взаимодействия, зависящего только от взаимного положения частиц путем сведения ее к задаче рассеяния одной частицы на потенциале. Как было показано в разделе III гл. IX (мы будем следовать обозначениям этого раздела), движение двух частиц состоит из двух раздельных движений — движения центра масс как свободной частицы и движения «относительной частицы» с массой под действием потенциала

В типичном эксперименте по рассеянию мишень, состоящая из частиц типа 2, бомбардируется монокинетическим пучком частиц типа 1 и производится подсчет частиц какого-либо типа, например, типа 1, испускаемых в заданном направлении До столкновения частица 2 находилась в покое, частица 1 двигалась со скоростью так что скорость центра масс равна

Полная энергия системы является суммой энергий движения центра масс и относительного движения

здесь

Во время столкновения центр масс продолжает оставаться в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Очевидно, что величина эффективного сечения рассеяния связана с асимптотическим поведением функций стационарных состояний энергии зависящих от относительных координат.

Чтобы установить эту связь, удобно изменить систему отсчета и рассматривать явление рассеяния в той системе координат, в которой покоится центр масс частиц. Обычно лабораторной системой называется система отсчета, в которой неподвижна частица-мишень до столкновения, а системой центра масс — та система, в которой покоится центр масс; первая система рассматривалась выше, вторая равномерно и прямолинейно движется относительно первой со скоростью V. Переход от одной системы к другой изменяет описание движения центра масс, движение «относительной частицы» остается неизменным.

Определение эффективного сечения, данное в § 2, не обязательно предполагает, что частица мишени первоначально покоится.

Отметим, что падающий поток, входящий в это определение, есть поток частиц относительно мишени; эта величина не зависит от выбранной системы отсчета. Можно определить эффективное сечение в системе центра масс, подобно тому как определялось эффективное сечение в лабораторной системе для того же процесса. Величина равна числу частиц типа 1, испускаемых в единицу времени на единицу телесного угла в направлении когда частица типа 2 бомбардируется относительным потоком частиц типа 1, равным единице, причем все наблюдения производятся в системе центра масс и углы рассеяния также измеряются в этой системе отсчета.

Из этого определения следует, что

где — направление движения рассеянной частицы 1 в лабораторной системе отсчета, если в системе центра масс она движется в направлении Отметим равенство полных эффективных сечений

Это, разумеется, было ясно a priori, ибо полное эффективное сечение дает полное число частиц, рассеянных на единицу падающего потока, а эта величина не зависит от системы отсчета.

Величина по сравнению с более непосредственно связана с трехмерной задачей о рассеянии «относительной частицы» потенциалом Действительно, в системе центра масс направление движения частицы 1 совпадает с направлением движения «относительной частицы» (частица 2 движется в противоположном направлении). Поскольку, кроме того, падающий поток «относительной частицы» по отношению к силовому центру равен падающему потоку в нашей задаче

о рассеянии, величина есть эффективное сечение рассеяния «относительной частицы» в направлении т. е. дифференциальное эффективное сечение рассеяния в направлении частицы с массой и начальной скоростью на потенциале

Рис. 31. а) Столкновение в лабораторной системе же столкновение в системе центра масс.

В частности, если потенциал асимптотически стремится к нулю быстрее, чем уравнение Шредингера для «относительной частицы»

обладает собственным решением с энергией асимптотическая форма которого имеет вид

где — начальный волновой векюр в лабораторной системе координат. В этом случае

Чтобы перейти от этого выражения к эффективному сечению в лабораторной системе координат, необходимо найти связь между и . В качестве полярной оси в обеих системах отсчета выберем ось, параллельную направлению движения. На рис. 31, а представлена схема столкновения в лабораторной системе, а на рис. 31, б — схема того же столкновения в системе центра масс. Начальные и конечные скорости двух частиц в сферических координатах представлены в следующей таблице.

Направление связано с направлением векторным равенством

т. е.

откуда

или

в этих выражениях мы положили

Векторную сумму (23) можно представить графически, тогда соотношение (24) легко получить из чертежа (рис. 32).

Рис. 32. Геометрическое построение в зависимости от

Возможны два случая:

а) Угол монотонно увеличивается от 0 до , когда увеличивается от 0 до . Заметим, что при любом . В пределе имеем (центр масс практически совпадает с частицей 2, т. е. остается неподвижным в лабораторной системе).

б) . Когда увеличивается от 0 до сначала увеличивается от 0 до некоторой максимальной величины, меньшей затем угол уменьшается от до 0. Каждому значению соответствуют, таким образом, два значения связанные между собой соотношением ; каждому из этих значений соответствуют два различных значения причем меньшему значению угла соответствует большее значение Когда имеем просто

Из соотношения (24) получаем

и поскольку

находим, применяя соотношение (22):