§ 11. Модификация кулоновского потенциала короткодействующим взаимодействием

Когда к кулоновскому полю добавляется некоторое короткодействующее взаимодействие стационарное состояние рассеяния более не представляется чисто кулоновской волновой функцией, но функцией разложение которой в ряд по полиномам Лежандра имеет вид

Метод фазовых сдвигов, позволяющий описывать рассеяние частицы потенциалом почти без изменений переносится на случай рассеяния потенциалом следует только на каждом этапе вычислений заменить свободные волны на соответствующие кулоновские волновые функции.

Функция является решением радиального уравнения

Можно показать (задача 2), что, если стремится к нулю в асимптотической области не медленнее то решения радиального уравнения асимптотически переходят в линейные комбинации экспонент же самое, в линейные комбинации расходящихся и сходящихся кулоновских функций . В частности, регулярное решение этого уравнения асимптотически переходит в некоторую линейную комбинацию указанных двух функций. Пусть

есть эта линейная комбинация постоянная нормировки). Фазовый сдвиг характеризует действие потенциала добавленного к кулоновскому. Фазовый сдвиг равен нулю, если и в дальнейшем играет роль, совершенно аналогичную роли фазовых сдвигов при рассмотрении короткодействующих потенциалов.

Регулярное решение радиального уравнения Должно быть выбрано так, чтобы функция представляла стационарное состояние рассеяния; для этого необходимо, чтобы асимптотически вела себя как расходящаяся волна, т. е. как

Это условие выполняется, если при всех значениях I, как это можно видеть, сравнивая (50) и (51). В асимптотической области, т. е. для значений достаточно больших, чтобы можно было полностью пренебречь потенциалом получаем разложение

Как и в § 7, можно представить в виде суммы

где — функция, определенная уравнением (26) и представляющая падающую волну. Напротив, отличается от функции (27), ее асимптотическая форма, после соответствующих вычислений, может быть представлена в виде

где

причем

Нетрудно установить с помощью тех же аргументов, что и в § 8, что эффективное сечение рассеяния равно

Можно выразить его в виде суммы трех членов, воспользовав шись равенством (55)

Многие характерные свойства обычных фазовых сдвигов присущи и фазовым сдвигам, введенным в этом параграфе. В частности, ряд (556) сходится тем быстрее, чем короче радиус действия дополнительного потенциала V. Формулы (X. 39—44) из § X. 10 остаются справедливыми, если только учесть, что функции представляют теперь не свободные волны, а волны кулоновские (задача 3). Однако численные значения величин могут сильно отличаться от соответствующих значений для свободных волновых функций, так что результаты обсуждения поведения при малых энергиях, а также сходимости ряда должны быть пересмотрены. В частности, если мы имеем дело с отталкивающим кулоновским потенциалом, то фактор проникновения тем меньше, чем меньше начальная энергия, так что каким бы ни было если только (т. е. энергия меньше кулоновского барьера в точке За исключением этого все обсуждение резонансного рассеяния может быть повторено без изменения. При некотором изменении определений входящих величин (задача 4) формулы (Х.72-73), исходные для приближения Борна, и формула (X. 77), исходная для приближения «эффективного радиуса действия», остаются в силе.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)