Раздел I. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

§ 2. Гамильтониан частицы в сферических координатах

В этом разделе мы изучим уравнение Шредингера для частицы с массой движущейся в поле центрально-симметричного потенциала . Если — импульс частицы, ее радиус-вектор, то гамильтониан частицы выражается формулой

и тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид

Ввиду того, что гамильтониан обладает сферической симметрией, проведем исследование в сферических координатах.

В качестве полярной оси, как обычно, выберем ось тогда декартовы координаты (х, у, z) выражаются через сферические координаты известными формулами (см. рис. 27):

Выражение для потенциальной энергии V в сферических координатах нам дано; надо найти выражение для кинетической энергии иначе говоря, выразить в сферических координатах дифференциальный оператор

Это можно сделать непосредственно с помощью формул преобразования (I). Вычисление довольно длинно, но не представляет серьезных трудностей; мы не будем его здесь приводить. Вместо этого, чтобы лучше понять физический смысл результата, мы попытаемся выразить кинетическую энергию не через дифференциальные операторы а через построенные

из этих дифференциальных операторов эрмитовы операторы, которые имеют более наглядный физический смысл.

Так, вместо того, чтобы использовать дифференциальный оператор удобнее иметь дело с -компонентой момента импульса, которая согласно уравнению (V. 49) выражается формулой

Рис. 27. Сферические и декартовы координаты.

Поскольку не зависит от очевидно, что коммутирует с потенциальной энергией. Однако коммутирует также и с кинетической энергией что можно легко проверить (задача 4), пользуясь определением и соотношениями коммутации

Таким образом, коммутирует с гамильтонианом Н. Выбирая в качестве полярных осей оси можно прийти к тому же заключению относительно Следовательно три составляющие момента импульса

коммутируют с гамильтонианом. По этой причине мы будем использовать именно эти операторы, а не операторы

По тем же соображениям мы используем радиальный импульс

вместо оператора — который не является эрмитовым (см. задачу 1).

Чтобы уточнить свойство эрмитовости выясним при каких условиях среднее где квадратично интегрируемая функция, является вещественным. Мы должны иметь

Поскольку обращается в нуль при мы должны выяснить поведение функции в начале координат. Очевидно, что оператор является эрмитовым только, если ограничиться квадратично интегрируемыми функциями, которые подчиняются дополнительному условию 2)

Из определения следует, что этот оператор коммутирует с любой функцией а также с тремя компонентами I, но

Существует операторное тождество

согласно которому действие на функцию операторов Дает одинаковый результат при

Чтобы его доказать, применим для вычисления тождество

подставляя вместо векторов А и В операторы Разумеется, поскольку компоненты не обязательно коммутируют между собой, это тождество остается справедливым только при сохранении порядка следования операторов, именно

Повторное применение коммутационных соотношений (4) позволяет переписать это тождество в виде

но поскольку следовательно,

и, учитывая соотношение коммутации (8), получаем

Правая часть тождества (10) поэтому равна Разделив обе части уравнения на получаем искомое тождество (9), справедливое всюду, кроме, быть может, точки

Далее, разделив обе части тождества (9) на находим выражение для кинетической энергии, а затем и выражение гамильтониана в сферических координатах

Подобно энергии классической частицы гамильтониан есть сумма трех членов: «радиальной кинетической энергии» «вращательной кинетической энергии» (заметим, что есть момент инерции относительно начала координат) и потенциальной энергии

Непосредственное вычисление с заменой переменных, упомянутое в начале параграфа, приводит к тому же выражению, причем оператор представляется в виде

В заключение выпишем уравнение Шредингера в сферических координатах:

Разумеется, решения этого уравнения могут рассматриваться как решения уравнения Шредингера только лтосле изучения их поведения в начале координат. Не следует забывать, что справедливость выражения (11) в начале координат не является автоматически обеспеченной, независимо от вида функции, на которую действует гамильтониан Я. Не приводя доказательства, ограничимся здесь указанием того, что уравнение (13) эквивалентно уравнению Шредингера во всем пространстве, включая начало координат, если только удовлетворяет условию (7), т. е. условию эрмитовости оператора