§ 7. Построение пространства состояний путем тензорного умножения более простых пространств

Умея строить пространство для одномерной системы, обладающей классическим аналогом, нетрудно решить ту же задачу для системы, также обладающей классическим аналогом, но уже с числом степеней свободы

В этом случае динамические переменные будут функциями основных переменных положения и импульса. Представляющие их наблюдаемые подчиняются коммутационным соотношениям (6) и (7). Их можно подразделить на N пар каждая из которых состоит из некоторой координаты и соответствующего канонически сопряженного импульса. Каждая пара наблюдаемых коммутирует со всеми наблюдаемыми из других пар.

Наблюдаемые данной пары, например могут рассматриваться как основные наблюдаемые одномерной системы того типа, который изучался в предшествующем параграфе. Мы уже умеем строить пространство состояний такой системы: согласно результатам § 6, образовано линейной суперпозицией ортонормированных кет-векторов причем индекс изменяется непрерывно во всем интервале .

Пространство динамических состояний системы с N степенями свободы получается как тензорное произведение (см. § VII. 6) одномерных пространств

иными словами, это пространство натянуто на кет-векторы

Каждой паре операторов пространства соответствует вполне определенная пара операторов пространства — произведения . Таким образом, для представления основных переменных мы получаем вполне определенных операторов, действующих в 8. Согласно правилам тензорного умножения каждой наблюдаемой парциального пространства соответствует наблюдаемая полного пространства, две наблюдаемые из различных парциальных пространств коммутируют между собой, две наблюдаемые из одного парциального пространства подчиняются в тем же соотношениям коммутации, которым они подчиняются в Следовательно, построенные нами в операторы являются наблюдаемыми и подчиняются коммутационным соотношениям (6) и (7).

Множество векторов получающееся при изменении каждого собственного значения в интервале образует базисную систему в и определяет некоторое представление, а именно представление Полезно выписать в явном виде матричные элементы и в этом представлении. Для этого используем сокращенные обозначения:

Символ обозначает произведение сомножителей, исключая множитель с индексом

Применяя соотношения (17), (18) и (20) из § 6, получим последовательно: условия ортонормированности

матричные элементы (диагональные) координат

и матричные элементы (недиагональные) импульсов

Выполнение коммутационных соотношений (6) и (7) нетрудно проверить, пользуясь приведенными здесь явными выражениями элементов матриц, представляющих и

Любая динамическая переменная системы является функцией поэтому ей соответствует некоторый оператор, вполне определенный в пространстве Следует, конечно, убедиться в том, что этот оператор является наблюдаемой. Однако согласно сделанному выше замечанию этот пункт в квантовой теории обычно принимают без обсуждения.

Метод построения пространства состояний системы путем тензорного умножения более простых пространств имеет самое широкое применение. На практике динамические переменные системы всегда можно представить в виде функций от некоторого числа «основных» переменных, а эти переменные часто можно классифицировать по отдельным подмножествам, так что переменная, принадлежащая одному подмножеству, совместна со всеми переменными других подмножеств. Предположим, например, что нам удалось разделить «основные» переменные на два подмножества и что каждая переменная (1) совместна с каждой переменной (2). Каждое подмножество само по себе определяет парциальную систему, пространство состояний которой мы умеем строить. Пусть и 2 суть пространства состояний, относящиеся к парциальным системам (1) и (2). Тогда очевидно, что пространство состояний полной системы есть тензорное произведение двух парциальных пространств