§ 5. Линейные операторы

Определив пространство кет-векторов, можно перейти к определению линейных операторов, действующих в этом пространстве (см. § II. 11).

Предположим, что каждому кет-вектору векторного пространства соответствует некоторый кет-вектор говорят, что получается в результате действия на некоторого оператора. Если, кроме того, это соответствие линейно, то оно определяет некоторый линейный оператор А. Пишут

Такой оператор равен нулю, если вектор равен нулю при любом векторе

Чтобы оператор А был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы каким бы ни был вектор ,

Доказательство этого свойства не представляет серьезных трудностей, мы не будем на нем останавливаться. Отсюда немедленно следует:

Чтобы два оператора А и В были равны, необходимо и достаточно, чтобы, каким бы ни был вектор ,

Основные операции алгебры операторов были уже указаны (§ 11.11): умножение на постоянную, сумма и произведение. Сложение линейных операторов является операцией ассоциативной и коммутативной. Умножение ассоциативно, дистрибутивно по отношению к сумме, но — и в этом основное различие между обычной алгеброй и алгеброй линейных операторов — умножение не коммутативно. Напомним, что коммутатор двух линейных операторов Л и Б обозначается символом

Основные свойства алгебры коммутаторов изучались в § V. 17 (уравнения (V. 63-66)); они все остаются в силе и не будут вновь излагаться здесь.

Заметим, что операция умножения кет-вектора на заданную постояннную с также выражает действие линейного оператора. Этот оператор с коммутирует со всеми линейными операторами.

какими бы они ни были: . В частности, умножение на 1 есть единичный оператор.

Если соответствие между определенное выше, является взаимооднозначным, то оно определяет два линейных оператора А и В:

Эти операторы, по определению, обратны друг другу. Говорят еще, что операторы А и В обратны друг другу, если они одновременно удовлетворяют уравнениям

Эти два определения эквивалентны.

Оператор, обратный данному, существует не всегда. Когда он существует, его обычно выражают символом Пользуясь соотношениями (14), легко получить следующее свойство. Если операторы имеют обратные операторы, то произведение также имеет обратный оператор, причем

(отметим перестановку порядка сомножителей в правой части

Если действие линейного оператора Л в пространстве кет-векторов известно, то его действие в дуальном векторном пространстве однозначно определяется следующим образом. При задании бра-вектора скалярное произведение есть несомненно линейная функция , так как оператор А линеен. Пусть есть бра-вектор, определяемый этой функцией; тогда каждому бра-вектору соответствует бра-вектор . Ясно, что это соответствие линейно (свойства скалярного произведения). Говорят, что получается в результате действия А на и пишут

Следуя этому определению, получаем тождество

Скобки в этих двух выражениях оказываются, таким образом, лишними и мы будем писать просто для обоих равных скалярных произведений.

С помощью тождества (17) можно определить различные операции алгебры линейных операторов, действующих на бра-векторы. В частности, для трех основных операций имеем:

(а) умножение А на комплексную постоянную

(б) сумма операторов

(в) произведение операторов

При этом действует условие, что бра-векторы пишутся слева, а кет-векторы — справа от символа оператора, тогда алгебраические манипуляции с линейными операторами в обоих случаях производятся одинаково.

Некоторые операторы при использовании указанных выше обозначений оказываются особенно простыми в обращении: это операторы типа действие которых на дает кет, пропорциональный а именно (множитель пропорциональности а действие на любой дает , пропорциональный а именно Оператор не имеет обратного.